Calculadora de ondas y oscilaciones

Las oscilaciones y las ondas son la misma física con distintos disfraces. Una oscilación es cualquier cosa que se mueve de ida y vuelta alrededor de una posición de equilibrio: una masa en un resorte, la plomada de un péndulo, un voltaje en un condensador, la altura de una cuerda de guitarra, la presión dentro de una onda sonora. Una onda es una oscilación que viaja: el mismo movimiento de ida y vuelta, pero que ocurre ahora en un instante ligeramente distinto en cada punto del espacio, así que una instantánea muestra un patrón sinusoidal que se propaga. Ambas se rigen por una sola ecuación diferencial, el oscilador armónico simple (MAS) x''(t) = -ω²x(t), cuya solución general es la sinusoide x(t) = A cos(ωt + φ). A partir de ahí, periodo T = 2π/ω, frecuencia f = ω/(2π), velocidad máxima v_max = Aω, aceleración máxima a_max = Aω². Seis paneles de esta página cubren los casos canónicos: el propio MAS, el péndulo como reloj, la ecuación de onda v = fλ para ondas viajeras, el desplazamiento Doppler cuando la fuente o el observador se mueven, la resonancia LC como análogo eléctrico de una masa en un resorte, y la frecuencia de batido cuando dos tonos cercanos interfieren.

El MAS es cualquier movimiento en el que la fuerza restauradora (o el par, o el voltaje, o la diferencia de presión) es proporcional al desplazamiento respecto al equilibrio. La masa en un resorte es el caso de libro: F = -kx produce x'' = -(k/m)x, así que ω = √(k/m). La posición en cualquier instante es x(t) = A cos(ωt + φ), la velocidad v(t) = -Aω sen(ωt + φ), la aceleración a(t) = -Aω² cos(ωt + φ). Con el ejemplo (A = 0,1 m, ω = 6,28 rad/s), T = 2π/ω ≈ 1,0005 s, f = ω/(2π) ≈ 0,9995 Hz, v_max = Aω = 0,628 m/s, a_max = Aω² ≈ 3,9438 m/s². Si además introduce un tiempo t, la calculadora informa de x(t), v(t) y a(t) instantáneos — tres sinusoides desfasadas 90°. El MAS aparece en las redes atómicas (donde modela los fonones), en los circuitos de corriente alterna (donde el voltaje y la corriente oscilan sinusoidalmente con ω = 2πf) y en cualquier pequeña vibración alrededor del equilibrio.

Un péndulo de longitud L que oscila bajo la gravedad g con ángulos pequeños (θ < ~15°) cumple la ecuación del MAS con ω = √(g/L). El periodo es el famoso T = 2π√(L/g), que Galileo observó primero que es independiente de la masa de la plomada y de lo lejos que se balancee. Con L = 1 m y g = 9,81 m/s² (Tierra), T ≈ 2,006 s, el canónico «péndulo de segundos» que dio al metro su definición original (medio periodo = 1 s). En la Luna, con g = 1,62 m/s², el mismo péndulo de 1 m tarda T ≈ 4,94 s; en Marte (g = 3,72 m/s²), T ≈ 3,26 s. Por encima de una amplitud de unos 15° la aproximación de ángulo pequeño empieza a desviarse y entra un término de corrección, por eso un reloj de pie real usa un péndulo largo y lento (amplitud baja) en lugar de uno corto y rápido. La masa de la plomada se cancela en √(g/L): plomadas pesadas y ligeras en la misma cuerda mantienen periodos idénticos.

Toda onda viajera, ya sea sonora, luminosa, de agua o sísmica, obedece la misma relación fundamental: v = fλ — la velocidad de la onda es igual a la frecuencia por la longitud de onda. Tres modos de aquí resuelven cualquier incógnita dadas las otras dos. El ejemplo (f = 440 Hz, λ = 0,78 m) da v = 343,2 m/s — exactamente la velocidad del sonido en el aire a 20°C. Tres velocidades de referencia fijan los órdenes de magnitud: sonido en el aire ~343 m/s, sonido en el agua ~1480 m/s, luz en el vacío c = 3×10⁸ m/s. Para pasar la onda de un medio a otro se usa la ley de Snell (tratada en la página de óptica) para la refracción, pero dentro de un único medio homogéneo v viene fijada por las propiedades del medio (densidad y rigidez para el sonido, permitividad y permeabilidad para la luz).

El efecto Doppler es el cambio de frecuencia observada cuando la fuente y el observador se mueven uno respecto al otro. La fórmula clásica es f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s), donde en el numerador se toma el signo superior cuando el observador se acerca a la fuente (oye un tono más agudo) y en el denominador el signo inferior cuando la fuente se acerca al observador (sigue oyendo un tono más agudo). El ejemplo (f = 1000 Hz, v = 343 m/s, fuente en reposo, observador que se acerca a la fuente a 30 m/s): f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087,46 Hz, un desplazamiento de +87,46 Hz o +8,75%. La misma fuente de 30 m/s que se acerca a un oyente en reposo da la misma respuesta (la fórmula es simétrica). A altas velocidades la corrección relativista se vuelve significativa; para una pistola radar que mide un coche a 30 m/s el factor γ difiere de 1 solo en unos 5×10⁻⁷, por eso la fórmula clásica basta para el sonido, pero la luz requiere la versión relativista.

Un circuito LC (una bobina L en paralelo con un condensador C) es el análogo eléctrico de la masa en un resorte: la carga desempeña el papel del desplazamiento, la corriente el de la velocidad, la inductancia L el de la masa, y 1/C el de la rigidez del resorte. La carga oscila a ω = 1/√(LC), o equivalentemente f = 1/(2π√(LC)). El ejemplo (L = 100 mH, C = 10 μF) da LC = 1×10⁻⁴, √(LC) = 1×10⁻⁷, así que f ≈ 159,15 Hz con frecuencia angular ω ≈ 1000 rad/s y periodo T ≈ 6,28×10⁻⁷ s. Los circuitos LC reales también tienen resistencia, lo que hace que la oscilación se amortigüe — esa tasa de amortiguamiento es lo que minimiza el sintonizador de radio AM para captar una emisora con nitidez. Añadir una fuente excitadora exactamente a f fuerza al circuito a entrar en resonancia, con amplitudes de voltaje y corriente mucho mayores que fuera de resonancia.

Cuando suenan juntos dos tonos de frecuencias ligeramente distintas, la presión del aire es la suma de dos sinusoides, que por trigonometría equivale a un coseno a la frecuencia media f_p = (f₁ + f₂)/2 modulado por una envolvente lenta a f_batido = |f₁ − f₂|. El oído percibe el tono medio que crece y decrece a la tasa del batido. El ejemplo (f₁ = 440 Hz, f₂ = 445 Hz) da f_batido = 5 Hz, f_p = 442,5 Hz, periodo del batido = 0,2 s — un pulso claramente audible 5 veces por segundo. Por debajo de unos 10 Hz los batidos se oyen como pulsos distintos; por encima de unos 30 Hz se funden en una aspereza o trémolo. Los afinadores de piano lo aprovechan: golpean un tono de referencia y la cuerda que ajustan, escuchan los batidos y giran la clavija hasta que desaparecen. Cuando las cuerdas están perfectamente afinadas f_batido = 0 y la calculadora informa de «Frecuencias idénticas — sin batidos».

• El periodo y la frecuencia no son lo mismo. T (segundos por ciclo) y f (ciclos por segundo) son recíprocos. T = 1/f. Una oscilación de 0,5 Hz tarda 2 segundos en completar un ciclo.
• El periodo del péndulo depende solo débilmente de la amplitud. El periodo exacto para una amplitud finita θ₀ es T = T₀·(1 + θ₀²/16 + πθ₀⁶/…). Para 15° es una corrección del 0,7%, para 30° de unos 1,7% — normalmente se ignora en los problemas introductorios.
• El desplazamiento Doppler es el mismo si se mueve la fuente o el observador. Tanto si la fuente se mueve hacia un observador en reposo como si el observador se mueve hacia una fuente en reposo a la misma velocidad, el desplazamiento del tono es idéntico (no relativistamente).
• La resonancia no es lo mismo que la amplitud máxima. La resonancia es la condición ω_excitación = ω_natural. Con amortiguamiento, la amplitud máxima queda por debajo del valor sin amortiguar; sin amortiguamiento, la amplitud crece sin límite (limitada solo por la no linealidad).

Herramientas relacionadas: Física moderna para las ondas de De Broglie y la dualidad onda-partícula, Electricidad y circuitos para el análisis de corriente alterna donde se sitúa la resonancia LC, y Óptica y luz para las ondas electromagnéticas.