Calculadora de astrofísica

La astrofísica es la parte de la física que usa la gravedad y el movimiento como lenguaje de trabajo de todo, desde una luna hasta una galaxia. Seis calculadoras de este panel responden a las seis preguntas que se repiten sobre cualquier cuerpo o trayectoria: ¿con qué rapidez hay que lanzar algo para salir del sistema? ¿Y para orbitarlo? ¿Cuánto tarda una órbita? ¿Hasta qué tamaño tendría que comprimirse la misma masa para convertirse en un agujero negro? ¿Cuánto delta-v gana un cohete por fracción de combustible? ¿Y a qué distancia está una galaxia cuya luz se desplaza al rojo? Todo lo demás — distancias medidas por paralaje frente a la base orbital de la Tierra, de una unidad astronómica (UA = 1,496×10¹¹ m), magnitudes como clasificación logarítmica del brillo, el corrimiento al rojo z ≈ v/c como versión de baja velocidad de la ley de Hubble — se apoya en el mismo andamiaje newtoniano y relativista.

Todo cuerpo de masa M y radio R crea un pozo de energía potencial de profundidad GM/R por unidad de masa. Para salir desde la superficie hace falta una energía cinética al menos igual a esa profundidad, lo que da la velocidad de escape. Con la Tierra: M = 5,972×10²⁴ kg, R = 6,371×10⁶ m — el panel devuelve v_e ≈ 11 186 m/s (11,19 km/s, unos Mach 33). Marte pesa ≈ 5,03 km/s, la Luna 2,38 km/s, Júpiter 60 km/s (donde el hidrógeno es un mal propelente, aunque la matemática es la misma) y el Sol 618 km/s. Ojo: la fórmula supone que no hay arrastre atmosférico ni propulsión adicional; el número real de cualquier cohete incluye pérdidas aerodinámicas, el arrastre de la gravedad durante la subida y las pérdidas de guiado. Además, es la velocidad desde el reposo en la superficie; un objeto que ya está en órbita necesita un Δv menor para escapar desde su altitud, nunca el valor completo de la superficie. El mismo escalado fija el peso en superficie: en Marte (g = 3,71 m/s²) un astronauta de 70 kg pesa 260 N — la masa no cambia, el peso sigue a la gravedad local.

Una órbita circular estable equilibra la aceleración centrípeta con la gravedad: v_o = √(GM/r). El valor predeterminado de la Tierra del panel, con r = 7×10⁶ m (unos 629 km de altitud, territorio de la ISS), da v_o ≈ 7 546 m/s y un periodo de 5 829 s (~1,62 horas). La ISS real está a unos 408 km y orbita en unos 92,7 minutos; la altitud del panel es un número ilustrativo, no un horario de vuelo. La relación también da el escape: multiplique v_o por √2 para obtener v_e a la misma altitud. La velocidad orbital no depende de la masa que orbita; una pluma y un acorazado en la misma órbita se mueven a la misma velocidad (en el vacío), por eso la mecánica orbital trata a los satélites como partículas puntuales.

T² = (4π²/GM) · a³ relaciona el periodo orbital con el semieje mayor. El valor predeterminado Sol-Tierra del panel (M = 1,989×10³⁰ kg, a = 1,496×10¹¹ m = 1 UA por definición) da T ≈ 365,21 días, justo la duración de nuestro año. Resolverlo al revés — dado un periodo en segundos, calcular a — es como los astrónomos miden el semieje mayor de cualquier satélite cuyo periodo puedan cronometrar. La misma base de 1 UA también define el parsec: una estrella que muestra un desplazamiento de paralaje de 1 segundo de arco frente al fondo cuando la Tierra recorre 2 UA está exactamente a 1 parsec = 3,26 años luz — y 1 parsec = 206 265 UA. Los kilómetros y los años luz se vuelven inmanejables a escala interestelar; los parsecs y las UA son las unidades de trabajo.

Si comprime una masa M por debajo de su radio de Schwarzschild R_s = 2GM/c², ninguna señal desde dentro puede salir: es el horizonte de un agujero negro sin rotación. Las cifras son sorprendentemente pequeñas para masas ordinarias: el R_s de la Tierra es unos 8,87 mm — más pequeño que una canica; el del Sol es unos 2,95 km. Para colapsar cualquiera de los dos harían falta densidades que ningún estado de la materia conocido proporciona. Los agujeros negros reales se forman en la muerte de estrellas, donde 14,76 km para un remanente de 5 M_⊙ (el preajuste «agujero negro pequeño» del panel) es el orden de magnitud correcto para objetos tipo Cygnus X-1, mientras que un agujero negro supermasivo de 4×10⁶ M_⊙, como Sagitario A* en el centro de nuestra galaxia, tiene R_s ≈ 1,18×10¹⁰ m (alrededor del 17% de la órbita de Mercurio). El radio de Schwarzschild es una predicción en coordenadas de la relatividad general; el horizonte real de un agujero negro en rotación (Kerr) es distinto y puede ser menor.

La conservación del momento de un cohete que expulsa gases hacia atrás a velocidad v_e con una razón de masas m₀/m_f da Δv = v_e · ln(m₀/m_f). El ejemplo cargable del panel (v_e = 3000 m/s, m₀ = 500 000 kg, m_f = 50 000 kg) da Δv ≈ 6 907,76 m/s para una razón de masas de 10 y una fracción de propulsante del 90%. La ecuación es brutalmente logarítmica: duplicar el propulsante añade v_e·ln(2) de Δv, nunca lo duplica. La órbita terrestre baja necesita unos 9,4 km/s de Δv en total; la transferencia a órbita geoestacionaria unos 11,5 km/s; la transferencia lunar unos 12,5 km/s — la razón por la que los cohetes se dividen en etapas, por la que las etapas superiores son fracciones diminutas de la masa de lanzamiento, y por la que el lanzamiento de una sola etapa a órbita sigue siendo tan difícil.

La observación de Edwin Hubble de 1929 de que las galaxias se alejan con una velocidad proporcional a la distancia da d = v/H₀. Con el H₀ = 70 km/s/Mpc del panel, una galaxia a v = 1 000 km/s está a d ≈ 14,286 Mpc ≈ 4,66×10⁷ años luz. Para galaxias cercanas la velocidad de recesión es una pequeña fracción de c, así que z ≈ v/c ≈ 3,34×10^-3; la ley lineal de Hubble es entonces un caso particular de la recesión cosmológica en un universo en expansión. La relación se rompe a corrimientos al rojo altos (z > 0,1), donde el modelo cosmológico completo toma el relevo; por eso el cuadro informativo advierte de que la fórmula es para galaxias «relativamente cercanas» — la misma advertencia vale para usar v_e o v_o cerca de la velocidad de la luz (las correcciones relativistas importan). La escalera de distancias de Hubble — paralaje, luego variables Cefeidas, luego supernovas de tipo Ia, luego el flujo de Hubble — es lo que calibra el propio H₀, y la actual tensión de H₀ entre los valores locales y los inferidos del CMB sigue siendo uno de los problemas abiertos de la cosmología.

• La velocidad de escape es una velocidad de lanzamiento desde el suelo. Es la velocidad desde el reposo a un radio dado sin propulsión adicional; un cohete que sube con empuje bajo y constante durante horas no necesita alcanzar v_e en ningún instante.
• Los agujeros negros succionan cosas como una aspiradora. El radio del horizonte lo fija la masa central, no el objeto que se «atrae». En r » R_s, la gravedad es simplemente la de Newton; solo muy cerca del horizonte se vuelve inescapable. El Sol, si fuera un agujero negro de la misma masa, no cambiaría en absoluto la órbita de la Tierra.
• Más propulsante significa proporcionalmente más Δv. Tsiolkovski es logarítmico: duplicar el propulsante añade v_e·ln(2), no duplica el delta-v. Es el número más importante de la ingeniería de cohetes.
• El paralaje mide el tamaño de las estrellas. El paralaje mide la distancia, por la misma triangulación geométrica que usan los topógrafos — cuanto mayor es la base, mayor es el alcance. La base de 2 UA de la órbita anual de la Tierra hace que los parsecs sean una unidad natural.

Herramientas relacionadas: Mecánica para la cinemática subyacente, Física moderna para los efectos relativistas a alta velocidad, y la Calculadora para la maquinaria algebraica que ejecuta las fórmulas anteriores.