Tres productos hacen todo lo que necesita: el producto escalar (un escalar que mide la alineación, A·B = |A||B|cosθ), el producto vectorial (un vector perpendicular a ambas entradas, de módulo |A||B|senθ) y el operador de proyección (la componente de A a lo largo de una dirección elegida). Son la contabilidad de cada fórmula de la física que implica más de un vector.
Módulo y el ejemplo canónico 2D
El triángulo rectángulo 3-4-5 es el ejemplo canónico para vectores 2D. Tome A = (3, 4). Su módulo es |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Su dirección desde el eje +x es arctan(4/3) ≈ 53,13°. Cualquier vector 2D puede escribirse como un módulo por un vector unitario que apunta en esa dirección: A = 5·(0,6, 0,8). El panel de descomposición acepta un módulo y los ángulos θ y φ y devuelve las componentes x, y, z según cualquiera de las dos convenciones esféricas (x = r cosθ cosφ, y = r cosθ senφ, z = r senθ) o planares (con φ ignorado, x = r cosθ, y = r senθ). Para r = 10, θ = 36,87° en modo 2D devuelve (8, 6, 0) — el triángulo rectángulo 6-8-10, escalado del 3-4-5 original. Reconocer estos triángulos enteros es el atajo para ver qué componentes son perpendiculares sin invocar la trigonometría.
Producto escalar — medida escalar de la alineación
Para dos vectores A y B, el producto escalar A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz) es un escalar igual a |A||B|cosθ — es decir, el producto de los módulos por el coseno del ángulo entre ellos. El ejemplo 2D predeterminado (A = (3, 4), B = (5, 2)) da A·B = 15 + 8 = 23, módulos |A| = 5 y |B| = √29 ≈ 5,385, y cosθ = 23/(5 × 5,385) = 23/26,93 ≈ 0,854, así que θ ≈ 31,33°. Tres consecuencias de signo sostienen toda la interpretación: cosθ > 0 significa ángulo agudo y vectores que apuntan más o menos en el mismo sentido; cosθ < 0 significa obtuso y vectores opuestos; cosθ = 0 significa perpendiculares. El producto escalar es el trabajo que realiza una fuerza F a lo largo de un desplazamiento d (W = F·d), y el coseno es la razón por la que empujar en diagonal es menos eficaz que empujar en la línea del movimiento.
Producto vectorial — vector perpendicular a ambas entradas
El producto vectorial es una operación exclusiva de 3D cuyo resultado es un vector perpendicular a ambas entradas, de módulo |A||B|senθ y dirección dada por la regla de la mano derecha (el índice apunta según A, el medio según B, el pulgar da A×B). Por componentes, A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx). El ejemplo 3D predeterminado (A = (2, 3, 4), B = (5, 1, 2)) da A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13). El producto vectorial es antisimétrico: B×A = −A×B, así que intercambiar las entradas cambia el signo. Tres apariciones en la física: el par τ = r×F (fuerza rotacional), el momento angular L = r×p (momento angular orbital) y la fuerza magnética F = qv×B sobre una carga en movimiento. El módulo |A×B| es igual al área del paralelogramo que abarcan los dos vectores, por eso los resultados del producto vectorial siempre describen área o rotación. El par es el producto vectorial en acción: τ = r×F tiene módulo |r||F|senθ, así que empujar a través del pivote da cero y una llave más larga da más par.
Ángulo entre vectores
Una vez que tiene el producto escalar y los módulos, el ángulo es un único arcocoseno: cosθ = A·B/(|A||B|), con θ en [0, π]. Un producto escalar pequeño respecto a los módulos significa vectores casi perpendiculares; un producto escalar igual a |A||B| significa que los vectores apuntan en el mismo sentido (θ = 0); un producto escalar igual a −|A||B| significa opuestos (θ = π). La fórmula es la misma en 2D y en 3D — solo cambia la dimensión de las sumas de componentes. Geométricamente, el producto escalar puede verse como la proyección de A sobre B (o de B sobre A), multiplicada por el módulo del otro, así que el coseno es literalmente la razón de proyección.
Vector unitario y proyección
Un vector unitario es un vector de módulo 1 que apunta en la misma dirección que el original: u = A / |A|. Los vectores unitarios son la forma de describir la «pura dirección»; los vectores base i, j, k de las coordenadas cartesianas son los ejemplos canónicos, y cualquier dirección en 3D puede escribirse como combinación lineal de ellos. La proyección de A sobre B (o la componente de A a lo largo de B) es proyBA = (A·B / |B|²) · B — la parte de A que está a lo largo de B. La versión escalar (A·B/|B|) es la longitud con signo de esa proyección. Esto es lo que hace del producto escalar la fórmula del trabajo: la componente del desplazamiento a lo largo de la fuerza, por el módulo de la fuerza, es el trabajo realizado.
Ideas erróneas
- El producto escalar es la multiplicación de vectores. Es el producto escalar: produce un número, no un vector. De forma similar, el producto vectorial es el producto de vectores. Llamarlos «multiplicación» oculta que tienen resultados completamente distintos.
- El producto vectorial es un escalar. En 2D la componente perpendicular a veces se llama escalar (el determinante axby − aybx), pero en 3D el producto vectorial es genuinamente un vector. El módulo y la dirección tienen ambos un significado físico.
- El producto vectorial es conmutativo. Es anticonmutativo: A×B = −B×A. El orden importa — el par r×F tiene el sentido opuesto a F×r.
- Un vector tiene una posición fija. Los vectores son libres: puede deslizarlos por la página sin cambiarlos. Lo que es fijo es su módulo y su dirección; solo algunos vectores de la física (vectores de posición, campo eléctrico en un punto) están ligados a una ubicación.
Herramientas relacionadas: Mecánica para el par, el trabajo y el momento angular en contexto, Dinámica rotacional para ver cómo el producto vectorial construye el momento angular, y Circuitos para la fuerza magnética F = qv×B.
