Calculatrice d’astrophysique

L’astrophysique est la partie de la physique qui utilise la gravité et le mouvement comme langage de travail, de la lune à la galaxie. Six calculateurs de ce panneau répondent aux six questions récurrentes que l’on peut poser à tout corps ou à toute trajectoire : à quelle vitesse faut-il lancer un objet pour quitter le système ? à quelle vitesse faut-il le lancer pour tourner autour ? combien de temps dure une orbite ? à quelle taille faudrait-il comprimer la même masse pour former un trou noir ? quel Δv une fusée gagne-t-elle par fraction de carburant ? et à quelle distance se trouve une galaxie dont la lumière est décalée vers le rouge ? Tout le reste — distances mesurées par parallaxe sur la base de l’orbite terrestre d’une unité astronomique (UA = 1,496×10¹¹ m), magnitudes comme classement logarithmique de la luminosité, décalage vers le rouge z ≈ v/c comme version basse vitesse de la loi de Hubble — repose sur la même ossature newtonienne et relativiste.

Tout corps de masse M et de rayon R crée un puits de potentiel de profondeur GM/R par unité de masse. Pour en sortir depuis la surface, il faut une énergie cinétique au moins égale à cette profondeur, ce qui donne la vitesse de libération. Pour la Terre : M = 5,972×10²⁴ kg, R = 6,371×10⁶ m — le panneau donne v_e ≈ 11 186 m/s (11,19 km/s, soit environ Mach 33). Mars atteint environ 5,03 km/s, la Lune 2,38 km/s, Jupiter 60 km/s (où l’hydrogène est un mauvais propergol mais où le calcul reste le même), et le Soleil 618 km/s. Remarque : la formule suppose l’absence de traînée atmosphérique et de propulsion supplémentaire ; le chiffre réel pour une fusée comprend les pertes aérodynamiques, la traînée de gravité pendant la montée et les pertes de guidage. C’est aussi la vitesse à partir du repos à la surface ; un objet déjà en orbite n’a besoin que d’un Δv plus faible pour s’échapper depuis son altitude, jamais de la valeur complète de la surface. La même mise à l’échelle fixe le poids à la surface : sur Mars (g = 3,71 m/s²), un astronaute de 70 kg pèse 260 N — la masse ne change pas, le poids suit la pesanteur locale.

Une orbite circulaire stable équilibre l’accélération centripète et la gravité : v_o = √(GM/r). Le préréglage Terre par défaut du panneau, à r = 7×10⁶ m (environ 629 km d’altitude — le domaine de l’ISS), donne v_o ≈ 7 546 m/s et une période de 5 829 s (environ 1,62 heure). L’ISS réelle se situe à environ 408 km et tourne en environ 92,7 minutes ; l’altitude du panneau est un nombre illustratif, non un planning de vol. La relation donne aussi la libération — multipliez v_o par √2 pour obtenir v_e à la même altitude. La vitesse orbitale ne dépend pas de la masse en orbite : une plume et un cuirassé sur la même orbite se déplacent à la même vitesse (dans le vide), c’est pourquoi la mécanique orbitale traite les satellites comme des points matériels.

T² = (4π²/GM) · a³ relie la période orbitale au demi-grand axe. Le préréglage Soleil-Terre par défaut du panneau (M = 1,989×10³⁰ kg, a = 1,496×10¹¹ m = 1 UA par définition) donne T ≈ 365,21 jours, précisément la durée de notre année. Résoudre dans l’autre sens — à partir d’une période en secondes, calculer a — est la méthode qu’utilisent les astronomes pour mesurer le demi-grand axe de tout satellite dont ils peuvent chronométrer la période. La même base de 1 UA définit aussi le parsec : une étoile présentant une parallaxe de 1 seconde d’arc lorsque la Terre balaie 2 UA se situe exactement à 1 parsec = 3,26 années-lumière — et 1 parsec = 206 265 UA. Les kilomètres et les années-lumière deviennent ingérables aux échelles interstellaires ; les parsecs et les UA sont les unités de travail.

Si vous comprimez une masse M en dessous de son rayon de Schwarzschild R_s = 2GM/c², aucun signal émis depuis l’intérieur ne peut en sortir : c’est l’horizon d’un trou noir non tournant. Les nombres sont étonnamment petits pour des masses ordinaires : le R_s de la Terre vaut environ 8,87 mm — plus petit qu’une bille ; celui du Soleil vaut environ 2,95 km. Pour effondrer l’un ou l’autre, il faudrait des densités qu’aucun état connu de la matière ne fournit. Les trous noirs réels se forment à la mort des étoiles, où 14,76 km pour un résidu de 5 M_⊙ (le préréglage « petit trou noir » du panneau) est l’ordre de grandeur des objets du type Cygnus X-1, tandis qu’un trou noir supermassif de 4×10⁶ M_⊙ comme Sagittarius A* au centre de notre galaxie a un R_s ≈ 1,18×10¹⁰ m (environ 17 % de l’orbite de Mercure). Le rayon de Schwarzschild est une prédiction en coordonnées de la relativité générale ; l’horizon réel d’un trou noir en rotation (de Kerr) diffère et peut être plus petit.

La conservation de la quantité de mouvement pour une fusée qui éjecte ses gaz vers l’arrière à la vitesse v_e, avec un rapport de masses m₀/m_f, donne Δv = v_e · ln(m₀/m_f). L’exemple chargeable du panneau (v_e = 3000 m/s, m₀ = 500 000 kg, m_f = 50 000 kg) donne Δv ≈ 6 907,76 m/s pour un rapport de masses de 10 et une fraction de propergol de 90 %. L’équation est brutalement logarithmique : doubler le propergol ajoute v_e·ln(2) de Δv, sans jamais le doubler. Une orbite basse terrestre exige environ 9,4 km/s de Δv au total ; le transfert vers l’orbite géostationnaire environ 11,5 km/s ; le transfert lunaire environ 12,5 km/s — la raison pour laquelle les fusées sont étagées, pourquoi les derniers étages ne représentent qu’une infime fraction de la masse au lancement, et pourquoi la mise en orbite monoétage reste obstinément difficile.

L’observation d’Edwin Hubble en 1929, selon laquelle les galaxies s’éloignent à une vitesse proportionnelle à leur distance, donne d = v/H₀. Avec le H₀ = 70 km/s/Mpc du panneau, une galaxie à v = 1 000 km/s se situe à d ≈ 14,286 Mpc ≈ 4,66×10⁷ années-lumière. Pour les galaxies proches, la vitesse de récession est une petite fraction de c, donc z ≈ v/c ≈ 3,34×10^-3 ; la loi de Hubble linéaire est alors un cas particulier de la récession cosmologique dans un univers en expansion. La relation cesse de tenir à grand décalage vers le rouge (z > 0,1), où le modèle cosmologique complet prend le relais — c’est pourquoi l’encadré avertit que la formule vaut pour les galaxies « relativement proches ». La même mise en garde s’applique à l’usage de v_e ou v_o près de la vitesse de la lumière (les corrections relativistes comptent). L’échelle des distances de Hubble — parallaxe, céphéides, supernovae de type Ia, flot de Hubble — est ce qui calibre H₀ lui-même, et la tension actuelle sur H₀ entre valeurs locales et valeurs déduites du fond diffus cosmologique reste l’un des problèmes ouverts de la cosmologie.

• La vitesse de libération est une vitesse de lancement depuis le sol. C’est la vitesse à partir du repos, à un rayon donné, sans propulsion supplémentaire ; une fusée qui grimpe à faible poussée constante pendant des heures n’a pas besoin d’atteindre v_e à un instant donné.
• Les trous noirs aspirent les objets comme un aspirateur. Le rayon de l’horizon est fixé par la masse centrale, non par l’objet « attiré ». À r » R_s, la gravité est simplement celle de Newton ; ce n’est que très près de l’horizon qu’elle devient inéchappable. Si le Soleil était un trou noir de même masse, l’orbite de la Terre ne changerait pas du tout.
• Plus de propergol signifie proportionnellement plus de Δv. La loi de Tsiolkovski est logarithmique : doubler le propergol ajoute v_e·ln(2), il ne double pas le Δv. C’est le chiffre le plus important de l’ingénierie des fusées.
• La parallaxe mesure la taille des étoiles. La parallaxe mesure la distance, par la même triangulation géométrique que celle des géomètres — plus la base est grande, plus la portée est lointaine. La base de 2 UA fournie par l’orbite annuelle de la Terre fait du parsec une unité naturelle.

Outils associés : Mécanique pour la cinématique sous-jacente, Physique moderne pour les effets relativistes à grande vitesse, et Calculatrice pour l’algèbre qui fait tourner les formules ci-dessus.