Calculatrice d’ondes et d’oscillations

Oscillations et ondes relèvent de la même physique sous-jacente, déguisée différemment. Une oscillation est tout mouvement de va-et-vient autour d’une position d’équilibre — une masse sur un ressort, la masse d’un pendule, une tension aux bornes d’un condensateur, la hauteur d’une corde de guitare, la pression à l’intérieur d’une onde sonore. Une onde est une oscillation qui se propage : le même mouvement de va-et-vient, mais qui se produit à un instant légèrement différent en chaque point de l’espace, si bien qu’un instantané montre un motif sinusoïdal qui se déplace. Les deux sont régis par une seule équation différentielle, celle de l’oscillateur harmonique simple (MHS) x''(t) = -ω²x(t), dont la solution générale est la sinusoïde x(t) = A cos(ωt + φ). On en déduit la période T = 2π/ω, la fréquence f = ω/(2π), la vitesse maximale v_max = Aω et l’accélération maximale a_max = Aω². Les six panneaux de cette page couvrent les cas canoniques : le MHS lui-même, le pendule comme horloge, l’équation des ondes v = fλ pour les ondes progressives, l’effet Doppler lorsque la source ou l’observateur se déplacent, la résonance LC comme analogue électrique d’une masse sur un ressort, et la fréquence de battement lorsque deux sons proches interfèrent.

Le MHS est tout mouvement où la force de rappel (ou le couple, ou la tension, ou la différence de pression) est proportionnelle au déplacement par rapport à l’équilibre. La masse sur un ressort est le cas d’école : F = -kx donne x'' = -(k/m)x, donc ω = √(k/m). La position à chaque instant est x(t) = A cos(ωt + φ), la vitesse v(t) = -Aω sin(ωt + φ), l’accélération a(t) = -Aω² cos(ωt + φ). Avec l’exemple (A = 0,1 m, ω = 6,28 rad/s), T = 2π/ω ≈ 1,0005 s, f = ω/(2π) ≈ 0,9995 Hz, v_max = Aω = 0,628 m/s, a_max = Aω² ≈ 3,9438 m/s². Si vous saisissez aussi un instant t, le calculateur donne x(t), v(t) et a(t) instantanés — trois sinusoïdes déphasées de 90° l’une par rapport à l’autre. Le MHS apparaît dans les réseaux atomiques (où il modélise les phonons), dans les circuits en courant alternatif (où tension et courant oscillent sinusoïdalement à ω = 2πf), et dans toute petite vibration autour d’un équilibre.

Un pendule de longueur L oscillant sous la gravité g à petits angles (θ < ~15°) satisfait l’équation du MHS avec ω = √(g/L). Sa période est la fameuse T = 2π√(L/g), dont Galilée a le premier remarqué qu’elle est indépendante de la masse du poids et de l’amplitude du balancement. Avec L = 1 m et g = 9,81 m/s² (Terre), T ≈ 2,006 s — le « pendule à seconde », qui a servi à définir le mètre à l’origine (demi-période = 1 s). Sur la Lune, avec g = 1,62 m/s², le même pendule de 1 m met T ≈ 4,94 s ; sur Mars (g = 3,72 m/s²), T ≈ 3,26 s. Au-delà d’une amplitude d’environ 15°, l’approximation des petits angles commence à dériver et un terme correctif intervient — c’est pourquoi une véritable horloge comtoise utilise un long pendule lent (faible amplitude) plutôt qu’un pendule court et rapide. La masse du poids disparaît dans √(g/L) : des poids lourds et légers suspendus au même fil gardent exactement la même période.

Toute onde progressive, qu’il s’agisse de son, de lumière, d’eau ou d’onde sismique, obéit à la même relation fondamentale : v = fλ — la vitesse de l’onde égale la fréquence multipliée par la longueur d’onde. Les trois modes ici permettent de calculer une inconnue quelconque à partir des deux autres. L’exemple (f = 440 Hz, λ = 0,78 m) donne v = 343,2 m/s — exactement la vitesse du son dans l’air à 20°C. Trois vitesses de référence situent les ordres de grandeur : son dans l’air environ 343 m/s, son dans l’eau environ 1480 m/s, lumière dans le vide c = 3×10⁸ m/s. Pour faire passer une onde d’un milieu à un autre, on utilise la loi de Snell (voir la page d’optique) pour la réfraction ; à l’intérieur d’un milieu homogène unique, v est fixée par les propriétés du milieu (masse volumique et rigidité pour le son, permittivité et perméabilité pour la lumière).

L’effet Doppler est la modification de la fréquence perçue lorsque la source et l’observateur se déplacent l’un par rapport à l’autre. La formule classique est f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s), où le signe supérieur au numérateur s’applique lorsque l’observateur se dirige vers la source (il entend une hauteur plus aiguë) et le signe inférieur au dénominateur lorsque la source se dirige vers l’observateur (il entend encore une hauteur plus aiguë). Exemple (f = 1000 Hz, v = 343 m/s, source immobile, observateur qui se rapproche de la source à 30 m/s) : f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087,46 Hz, soit un décalage de +87,46 Hz ou +8,75 %. La même source à 30 m/s qui se rapproche d’un auditeur immobile donne le même résultat (la formule est symétrique). À grande vitesse, la correction relativiste devient significative : pour un radar mesurant une voiture à 30 m/s, le facteur γ ne diffère de 1 que d’environ 5×10⁻⁷, ce qui explique que la formule classique suffise pour le son, mais que la lumière exige la version relativiste.

Un circuit LC (une inductance L en parallèle avec un condensateur C) est l’analogue électrique de la masse sur un ressort : la charge joue le rôle du déplacement, le courant celui de la vitesse, l’inductance L celui de la masse, et 1/C celui de la raideur du ressort. La charge oscille à ω = 1/√(LC), soit de façon équivalente f = 1/(2π√(LC)). Exemple (L = 100 mH, C = 10 μF) donne LC = 1×10⁻⁴, √(LC) = 1×10⁻⁷, donc f ≈ 159,15 Hz avec une pulsation ω ≈ 1000 rad/s et une période T ≈ 6,28×10⁻⁷ s. Les circuits LC réels ont aussi une résistance, qui fait décroître l’oscillation — c’est ce taux de décroissance qu’un syntoniseur de radio AM cherche à minimiser pour capter une station proprement. Imposer une excitation à exactement f place le circuit en résonance, avec des amplitudes de tension et de courant bien plus grandes qu’hors résonance.

Lorsque deux sons de fréquences légèrement différentes sont joués ensemble, la pression de l’air est la somme de deux sinusoïdes — ce qui, par trigonométrie, équivaut à un cosinus à la fréquence moyenne f_p = (f₁ + f₂)/2, modulé par une enveloppe lente à f_battement = |f₁ − f₂|. L’oreille entend la hauteur moyenne qui gonfle et décroît au rythme du battement. Exemple (f₁ = 440 Hz, f₂ = 445 Hz) donne f_battement = 5 Hz, f_p = 442,5 Hz, une période de battement de 0,2 s — une pulsation nettement audible, cinq fois par seconde. En dessous d’environ 10 Hz, les battements s’entendent comme des pulsations distinctes ; au-delà d’environ 30 Hz, ils se fondent en une rugosité ou un trémolo. Les accordeurs de piano exploitent ce phénomène : ils frappent une note de référence et la corde à régler, écoutent les battements, et ajustent jusqu’à leur disparition. Une fois les cordes parfaitement accordées, f_battement = 0 et le calculateur affiche « Fréquences identiques — pas de battement ».

• La période et la fréquence ne sont pas la même chose. T (secondes par cycle) et f (cycles par seconde) sont des inverses. T = 1/f. Une oscillation de 0,5 Hz met 2 secondes pour accomplir un cycle.
• La période du pendule ne dépend que faiblement de l’amplitude. La période exacte pour une amplitude finie θ₀ est T = T₀·(1 + θ₀²/16 + πθ₀⁶/…). Pour 15°, la correction est de 0,7 %, pour 30° d’environ 1,7 % — généralement négligée dans les problèmes d’introduction.
• Le décalage Doppler est le même selon que la source ou l’observateur se déplace. Que la source se rapproche d’un observateur immobile ou que l’observateur se rapproche d’une source immobile à la même vitesse, le décalage de hauteur est identique (en mécanique non relativiste).
• La résonance n’est pas la même chose que l’amplitude maximale. La résonance est la condition ω_excitation = ω_propre. Avec amortissement, l’amplitude maximale est inférieure à la valeur sans amortissement ; sans amortissement, l’amplitude croît sans limite (bornée seulement par la non-linéarité).

Outils associés : Physique moderne pour les ondes de de Broglie et la dualité onde-corpuscule, Électricité et circuits pour l’analyse en courant alternatif où se situe la résonance LC, et Optique et lumière pour les ondes électromagnétiques.