Deux lois de conservation font l’essentiel du travail : la conservation de la masse donne la continuité (Q = A·v, A1v1 = A2v2), la conservation de l’énergie le long d’une ligne de courant donne Bernoulli (P + ½ρv² + ρgh = constante). Tout le reste — poussée, pression hydrostatique, traînée — en est un cas particulier ou une conséquence.
Poussée d’Archimède — le poids déplacé
Tout corps immergé dans un fluide subit une force ascendante égale au poids du fluide qu’il déplace : Fb = ρ·V·g, où ρ est la masse volumique du fluide, V le volume déplacé et g l’accélération de la pesanteur. L’exemple par défaut (ρ = 1000 kg/m³ pour l’eau douce, V = 0,01 m³, g = 9,81 m/s²) donne Fb ≈ 98,1 N — le poids de 10 kg d’eau. C’est précisément pourquoi un bloc de bois de 10 kg (masse volumique 700 kg/m³) flotte à moitié immergé : la moitié de son volume déplace la moitié de son poids. Un objet flotte lorsque sa masse volumique moyenne est inférieure à celle du fluide, coule lorsqu’elle est supérieure, et reste en suspension lorsqu’elle est exactement égale. Pour les gaz, la même relation vaut avec ρ voisin de 1,2 kg/m³ au niveau de la mer, c’est pourquoi un ballon à hélium ne soulève qu’environ 1 gramme par litre — le contraste de masse volumique est faible.
Pression hydrostatique — le poids de la colonne
Dans un fluide au repos, la pression croît linéairement avec la profondeur : P = P0 + ρg·h, où P0 est la pression à la surface (atmosphérique, 101 325 Pa au niveau de la mer). L’exemple par défaut (20 m d’eau douce) donne une pression relative de ρg·h = 196 200 Pa et une pression totale de 297 525 Pa (environ 2,94 atm, 2,98 bar). La pression ne dépend que de la profondeur et de la masse volumique du fluide, non de la forme du récipient — c’est le « paradoxe hydrostatique » — car chaque élément de fluide à la profondeur h supporte la même colonne de poids. Principe de Pascal : une variation de pression appliquée à un fluide enfermé se transmet intégralement à toutes les parties, c’est pourquoi les élévateurs hydrauliques multiplient la force : une petite force sur un petit piston crée la même pression qu’un grand piston, qui se soulève alors sous une force proportionnellement grande.
Bernoulli — l’énergie le long d’une ligne de courant
Pour un écoulement permanent, incompressible et non visqueux, l’énergie par unité de volume se conserve le long de toute ligne de courant : P + ½ρv² + ρgh = constante. L’exemple par défaut part de la pression atmosphérique, de v1 = 2 m/s, h1 = 10 m, et arrive à v2 = 4 m/s, h2 = 5 m — le panneau renvoie P2 ≈ 144 375 Pa avec une constante d’environ 201 425 Pa. La baisse d’altitude ajoute une pression potentielle ; la hausse de vitesse retire de la pression statique. C’est le principe de fonctionnement du venturi (un étranglement dans une conduite accélère l’écoulement et fait baisser la pression), du carburateur (un col dans le canal d’air abaisse la pression et aspire le carburant), de l’aile d’avion (la face supérieure accélère l’air, en abaissant sa pression, ce qui porte l’aile) et du tube de Pitot (la différence de pression mesure la vitesse). Bernoulli cesse de s’appliquer dès que l’écoulement n’est ni permanent, ni incompressible, ni non visqueux — notamment à grand nombre de Reynolds, où la turbulence rend la pression bruitée et où la formule moyenne dans le temps. La portance d’une aile relève surtout de la troisième loi de Newton — déviation de l’écoulement d’air vers le bas — la différence de pression de Bernoulli étant la comptabilité, non la cause.
Débit — combien par seconde
Le débit volumique vaut Q = A·v, avec A la section et v la vitesse moyenne. L’exemple par défaut (A = 0,05 m², v = 3 m/s) donne Q = 0,15 m³/s = 150 L/s, soit 9 m³ par minute. Pour un écoulement incompressible dans une conduite à section variable, la conservation de la masse impose A1·v1 = A2·v2 : diviser la section par deux double la vitesse. C’est pourquoi un tuyau d’arrosage dont on bouche l’extrémité du pouce projette plus loin, et pourquoi un rétrécissement de rivière accélère les rapides. La règle de continuité est locale à chaque instant ; la vitesse ne « se souvient » pas des sections précédentes. Pour un écoulement compressible (gazoducs, moteurs à réaction), l’invariant pertinent est le débit massique ρA·v, constant tant qu’on n’ajoute ni ne retire de fluide.
Traînée de Stokes — l’extrémité laminaire de la résistance des fluides
Pour une sphère de rayon r se déplaçant à faible vitesse dans un fluide de viscosité μ, la force de traînée vaut Fd = 6πμr·v. L’exemple par défaut (μ = 0,001 Pa·s pour l’eau, r = 1 cm, v = 0,5 m/s) donne Fd ≈ 9,42×10−5 N (environ 94 μN). La relation est linéaire en v car à faible nombre de Reynolds le sillage est symétrique et la viscosité domine ; le travail que la sphère fournit contre la traînée se transforme en échauffement visqueux du fluide. La traînée de Stokes ne vaut que pour Re < 1 — pour une sphère de 1 cm dans l’eau, cela signifie des vitesses inférieures à environ 10−4 m/s. À vitesse plus élevée, le coefficient de traînée devient à peu près constant et la force varie en v² au lieu de v. La traînée de Stokes gouverne la sédimentation des poussières dans l’air, la nage des bactéries et la chute des sédiments fins dans l’eau.
Nombre de Reynolds — l’ordre face au chaos
Le rapport sans dimension Re = ρvL/μ compare les forces d’inertie aux forces visqueuses. L’exemple par défaut (eau, v = 1 m/s, L = 0,1 m) donne Re ≈ 100 000, bien dans le régime turbulent. Empiriquement : Re < ~2 000 signifie un écoulement laminaire (lisse, prévisible, lignes de courant parallèles) ; Re > ~4 000 un écoulement turbulent (chaotique, mélangé, tourbillonnaire) ; la mince bande intermédiaire est transitoire. Le flux sanguin dans l’aorte (Re ~ 4 000) se situe à la frontière ; dans les capillaires (Re ~ 0,001), il est franchement laminaire et la traînée de Stokes s’applique. L’air qui longe une aile d’avion est volontairement turbulent pour retarder le décollement de l’écoulement. Le nombre de Reynolds explique pourquoi les conduites ont une « vitesse critique » au-delà de laquelle le coût du pompage augmente brusquement, et pourquoi la fumée d’une bougie monte en un panache laminaire régulier sur quelques centimètres avant de se briser en volutes chaotiques.
Idées reçues courantes
- La force d’Archimède vient du fond qui pousse vers le haut. Elle provient de l’intégrale de la pression sur toute la surface mouillée. La pression est plus forte au fond, mais les contributions latérales ne sont pas nulles non plus, et le résultat net est exactement le poids du fluide déplacé — c’est pourquoi la géométrie du récipient ne change pas la réponse.
- Les ailes d’avion portent parce que la face supérieure est plus longue et que l’air « doit rattraper ». La portance vient d’une différence de pression engendrée par la circulation et par la forme de l’aile ; l’égalité des temps de transit est une dérivation populaire qui donne par hasard la bonne valeur numérique pour une mauvaise raison. Pour les ailes à basse vitesse, le mécanisme dominant est la répartition de pression, non une quelconque « accélération au-dessus ».
- La loi de Stokes fonctionne à toute vitesse. Seulement lorsque Re < 1. Une bille d’acier de 1 cm qui chute dans l’eau atteint Re = 1 à quelques dixièmes de millimètre par seconde ; au-delà, le sillage devient dissymétrique et la traînée se rapproche d’un comportement en v². Stokes sous-estime la traînée pour tout objet qui ressemble à une bille.
- La pression pousse toujours vers l’extérieur du fluide. Dans un fluide au repos, la pression est isotrope : elle pousse également dans toutes les directions. La « poussée depuis le bas » sur une surface immergée n’est que la composante vers le bas de cette même pression, qui pousse latéralement et vers le haut sur chaque centimètre carré.
Outils associés : Mécanique pour la force, le travail et l’énergie, Thermodynamique pour l’écoulement compressible et la dynamique des gaz, et Convertisseur d’unités pour passer de Pa à bar, atm ou psi.
