Toute mesure est un nombre accompagné d’une estimation honnête : quelle confiance peut-on accorder à ce nombre ? Cette estimation comporte deux composantes — une erreur aléatoire, que la répétition de la mesure fait diminuer par moyenne, et une erreur systématique, un biais qui persiste quel que soit le nombre de mesures. Le résultat honnête d’une grandeur est donc x ± u(x), où u est une incertitude bien définie ; le symbole ± est une notation abrégée pour « approximativement cet intervalle avec cette probabilité ». Les quatre calculateurs de ce panneau couvrent les outils pratiques : le comptage des chiffres significatifs (le raccourci de comptabilité), la propagation des incertitudes dans les sommes, différences, produits, quotients et puissances (le calcul des erreurs), l’écart type (dispersion des données), et l’incertitude combinée de type GUM pour plusieurs composantes indépendantes.
Deux types d’erreurs, deux comportements opposés : l’erreur aléatoire diminue avec la racine carrée de N (σ/√N), donc la moyenne finit toujours par gagner ; l’erreur systématique ne diminue pas du tout, c’est pourquoi l’étalonnage compte davantage que la répétition. Une mesure peut avoir un σ très faible et rester fausse à cause d’un biais.
Chiffres significatifs — le raccourci de comptabilité
Un chiffre significatif est un chiffre connu avec certitude ; les zéros qui complètent un nombre pour respecter une convention d’écriture ne le sont pas. Cinq règles : (1) tous les chiffres non nuls sont significatifs, (2) les zéros situés entre deux chiffres non nuls sont significatifs, (3) les zéros en tête ne sont pas significatifs (ils placent seulement la virgule), (4) les zéros en fin de nombre après la virgule sont significatifs, (5) les zéros en fin de nombre sans virgule sont ambigus (utilisez la notation scientifique). La valeur par défaut 0,0070800 comporte donc 5 chiffres significatifs (7, 0, 8, 0, 0) et se lit (7,0800 ± 0,00005)×10−3. Écrire 0,0070800 revient à indiquer la même précision qu’écrire 7,0800×10−3 ; écrire 0,00708 indique une précision mille fois moindre. Le raccourci convient aux rapports d’exercices ; pour une mesure réelle, l’incertitude u est le chiffre honnête, et les chiffres significatifs sont une manière commode de l’exprimer sans écrire le ± à chaque fois.
Propagation des erreurs — le calcul des erreurs
Pour z = f(x, y), la règle de combinaison des incertitudes indépendantes est σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². Pour les quatre opérations courantes, cela se réduit à : addition/soustraction, les erreurs absolues s’ajoutent en quadrature σz = √(σx² + σy²) ; multiplication/division, les erreurs relatives s’ajoutent en quadrature σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²) ; puissance xn, l’erreur relative est multipliée par |n| : σz/z = |n|σx/x. L’exemple par défaut (x = 10 ± 0,3, y = 5 ± 0,2, addition) donne z = 15 et σz ≈ 0,36, soit 15,00 ± 0,36 (environ 2,4 % en relatif). En passant à la multiplication avec les mêmes données, on obtient z = 50 ± 2,5 (5 % en relatif) — les mêmes valeurs ±, mais une règle de propagation très différente : l’incertitude relative du produit est égale à la somme en quadrature des incertitudes relatives. Les incertitudes absolues sont la monnaie adaptée aux sommes et différences ; les incertitudes relatives conviennent aux produits et quotients.
Écart type — dispersion des données
L’écart type σ est la racine de l’écart quadratique moyen à la moyenne. Il existe deux versions selon ce que représentent les données : l’écart type de population σ = √(Σ(xi − x̄)² / n) décrit la dispersion de tous les membres d’un ensemble connu ; l’écart type d’échantillon s = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) estime la dispersion de la population plus grande dont l’échantillon est tiré. L’exemple par défaut (10 valeurs comprises entre 12,2 et 12,8, de moyenne 12,5) donne σ de population ≈ 0,1732, s d’échantillon ≈ 0,1826 et écart type de la moyenne SEM = s/√N ≈ 0,0577. L’incertitude de la moyenne elle-même vaut σ/√N (ou s/√N pour la version d’échantillon) — c’est pourquoi la moyenne de 25 mesures d’une même grandeur divise l’incertitude par 5 par rapport à une seule mesure. L’écart type sert aussi aux intervalles de confiance : pour une loi normale, ±1σ couvre 68,3 %, ±2σ 95,5 %, ±3σ 99,7 %.
Incertitude étendue — combiner toutes les sources
Lorsqu’une mesure présente plusieurs sources d’erreur indépendantes (résolution de l’instrument, étalonnage, répétabilité, dérive thermique, effet de l’opérateur), l’incertitude combinée de type GUM vaut uc = √(Σui²). Les sources sont classées en type A (statistique, à partir des données) et en type B (tout le reste, avec des incertitudes estimées par jugement ou par la spécification du fabricant) ; les deux entrent dans uc de la même manière. Un facteur d’élargissement k ajuste ensuite l’intervalle au niveau de confiance choisi : k = 1 pour 68,3 %, k = 2 pour 95,5 %, k = 2,58 pour 99,0 %, k = 3 pour 99,7 %. L’exemple par défaut (sources de 0,15, 0,08, 0,05 et 0,03 mm, k = 2) donne uc ≈ 0,1797 mm et U = k·uc ≈ 0,3595 mm à 95,5 %. La valeur présentée devient alors (mesure ± 0,36) mm à ce niveau de confiance. Le GUM (ISO/IEC Guide 98-3) est la norme internationale qui définit la procédure. Les composantes de type A proviennent de la statistique de lectures répétées, celles de type B des spécifications des instruments et du jugement — les deux se combinent par la même somme en quadrature.
Idées reçues courantes
- Plus de chiffres significatifs signifie une mesure plus exacte. Seulement si ces chiffres proviennent réellement de la mesure. Une longueur écrite à la main « 12,34567 m » n’est pas exacte à un dix-millionième près — les chiffres significatifs servent à communiquer une précision, et non à l’inventer. Indiquer le ± est plus honnête que de compléter avec des chiffres fabriqués.
- L’erreur systématique peut être réduite par la moyenne. C’est l’inverse : les erreurs aléatoires diminuent en 1/√N par moyenne, mais un biais systématique (une balance mal étalonnée, un zéro décentré) reste en place quel que soit le nombre de mesures. Il faut identifier le biais, et non le moyenner. C’est le piège de « les données sont si reproductibles ! » dans une expérience défectueuse.
- L’écart type renseigne sur l’erreur d’une mesure unique. Il caractérise la dispersion de la distribution, et non l’erreur d’un essai isolé. L’écart type de la moyenne (s/√N) est la grandeur pertinente pour indiquer la précision avec laquelle on connaît x̄ à partir d’un échantillon de N valeurs.
- L’incertitude s’exprime toujours avec ± sur le dernier chiffre. La convention standard consiste à arrondir l’incertitude à un (parfois deux) chiffres significatifs, puis à arrondir la valeur en conséquence. Une mesure de 12,345678 ± 0,234 doit être donnée sous la forme 12,35 ± 0,23, et non 12,345678 ± 0,234.
Outils associés : Statistiques pour les lois de probabilité sous-jacentes, Mécanique pour les montages expérimentaux qui produisent les nombres, et Calculatrice pour l’algèbre de la propagation.
