Trois produits suffisent à tout faire : le produit scalaire (un scalaire qui mesure l’alignement, A·B = |A||B|cosθ), le produit vectoriel (un vecteur perpendiculaire aux deux entrées, de norme |A||B|sinθ), et l’opérateur de projection (composante de A selon une direction choisie). Ce sont les outils de comptabilité de toute formule de physique qui fait intervenir plus d’un vecteur.
Norme et exemple canonique en 2D
Le triangle rectangle 3-4-5 est l’exemple canonique des vecteurs en 2D. Prenons A = (3, 4). Sa norme est |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Sa direction, mesurée depuis l’axe +x, vaut arctan(4/3) ≈ 53,13°. Tout vecteur 2D peut s’écrire comme sa norme multipliée par un vecteur unitaire pointant dans cette direction : A = 5·(0,6 ; 0,8). Le panneau de décomposition accepte une norme et les angles θ et φ, et renvoie les composantes x, y, z selon la convention sphérique (x = r cosθ cosφ, y = r cosθ sinφ, z = r sinθ) ou planaire (φ ignoré, x = r cosθ, y = r sinθ). Pour r = 10 et θ = 36,87° en mode 2D, il renvoie (8, 6, 0) — le triangle 6-8-10 rectangle, mis à l’échelle à partir du 3-4-5. Reconnaître ces triangles à côtés entiers permet de repérer rapidement les composantes perpendiculaires sans recourir à la trigonométrie.
Produit scalaire — mesure scalaire d’alignement
Pour deux vecteurs A et B, le produit scalaire A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz) est un scalaire égal à |A||B|cosθ — c’est-à-dire le produit des normes par le cosinus de l’angle qu’elles forment. L’exemple 2D par défaut (A = (3, 4), B = (5, 2)) donne A·B = 15 + 8 = 23, des normes |A| = 5 et |B| = √29 ≈ 5,385, et cosθ = 23/(5 × 5,385) = 23/26,93 ≈ 0,854, donc θ ≈ 31,33°. Trois conséquences sur le signe portent toute l’interprétation : cosθ > 0 signifie un angle aigu, et les vecteurs pointent globalement dans le même sens ; cosθ < 0 signifie un angle obtus, et les vecteurs s’opposent ; cosθ = 0 signifie qu’ils sont perpendiculaires. Le produit scalaire est le travail d’une force F le long d’un déplacement d (W = F·d), et le cosinus explique pourquoi pousser en biais est moins efficace que pousser dans le sens du mouvement.
Produit vectoriel — vecteur perpendiculaire aux deux entrées
Le produit vectoriel est une opération propre à la 3D dont le résultat est un vecteur perpendiculaire aux deux entrées, de norme |A||B|sinθ et de direction donnée par la règle de la main droite (index sur A, majeur sur B, le pouce donne A×B). En composantes, A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx). L’exemple 3D par défaut (A = (2, 3, 4), B = (5, 1, 2)) donne A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13). Le produit vectoriel est antisymétrique : B×A = −A×B, donc échanger les entrées change le signe. Trois apparitions en physique : le couple τ = r×F (force de rotation), le moment cinétique L = r×p (moment cinétique orbital), et la force magnétique F = qv×B sur une charge en mouvement. La norme |A×B| est égale à l’aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs, c’est pourquoi les résultats d’un produit vectoriel décrivent toujours une aire ou une rotation. Le couple est le produit vectoriel en action : τ = r×F a pour norme |r||F|sinθ, donc pousser dans l’axe du pivot ne donne aucun couple, et une clé plus longue en donne davantage.
Angle entre deux vecteurs
Une fois le produit scalaire et les normes connus, l’angle s’obtient par un seul arc-cosinus : cosθ = A·B/(|A||B|), avec θ dans [0, π]. Un produit scalaire petit par rapport aux normes signifie des vecteurs presque perpendiculaires ; un produit scalaire égal à |A||B| signifie des vecteurs de même sens (θ = 0) ; un produit scalaire égal à −|A||B| signifie des vecteurs opposés (θ = π). La formule est identique en 2D et en 3D — seule la dimension des sommes de composantes change. Géométriquement, le produit scalaire peut se voir comme la projection de A sur B (ou de B sur A), multipliée par la norme de l’autre vecteur : le cosinus est littéralement le rapport de projection.
Vecteur unitaire et projection
Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1 pointant dans la même direction que le vecteur d’origine : u = A / |A|. Les vecteurs unitaires permettent de décrire une « pure direction » ; les vecteurs de base i, j, k des coordonnées cartésiennes en sont les exemples canoniques, et toute direction de l’espace peut s’écrire comme combinaison linéaire de ces vecteurs. La projection de A sur B (ou composante de A selon B) vaut projBA = (A·B / |B|²) · B — la partie de A qui est dirigée selon B. La version scalaire (A·B/|B|) est la longueur algébrique de cette projection. C’est ce qui fait du produit scalaire la formule du travail : la composante du déplacement selon la force, multipliée par l’intensité de la force, donne le travail effectué.
Idées reçues
- Le produit scalaire est une multiplication de vecteurs. C’est le produit scalaire : il donne un nombre, et non un vecteur. De même, le produit vectoriel est le produit vectoriel ! Parler de « multiplication » masque le fait que leurs résultats sont de nature totalement différente.
- Le produit vectoriel est un scalaire. En 2D, la composante perpendiculaire est parfois appelée scalaire (le déterminant axby − aybx), mais en 3D le produit vectoriel est bel et bien un vecteur. Sa norme et sa direction ont toutes deux un sens physique.
- Le produit vectoriel est commutatif. Il est antisymétrique : A×B = −B×A. L’ordre compte — le couple r×F est de sens opposé à F×r.
- Un vecteur a une position fixe. Les vecteurs sont libres — vous pouvez les déplacer sur la feuille sans les modifier. Ce qui est fixe, ce sont leur norme et leur direction ; seuls certains vecteurs de la physique (vecteurs position, champ électrique en un point) sont liés à un emplacement.
Outils associés : Mécanique pour le couple, le travail et le moment cinétique en contexte, Dynamique de rotation pour la manière dont le produit vectoriel construit le moment cinétique, et Circuits pour la force magnétique F = qv×B.
