2 つの等価な言明：1/f = 1/u + 1/v はレンズでも鏡でも成立します（違うのは符号規約と f の由来だけ）。そしてn·sinθ = n·sinθ は、臨界角、ブリュースター角、分散を含むすべての屈折を支配します。
スネルの法則 — 境界面での屈折
媒質 1 を進む光が法線から角度 θ1 で境界面に当たると、媒質 2 では角度 θ2 で進みます。n1·sinθ1 = n2·sinθ2。既定のサンプル（n1 = 1.00 空気、θ1 = 30°、n2 = 1.50 ガラス）は θ2 ≈ 19.47°。密な媒質に入るとき光線は法線の側へ曲がります。逆方向（ガラスから空気）では遠ざかり、θ1 が arcsin(n2/n1) — 臨界角 — を超えると式は破れます。実数の θ2 が存在しなくなり、光はすべて反射します（全反射）。屈折率は波長にも依存します。ガラスのプリズムが白光を虹に広げる理由です。各波長がわずかに異なる n を持ち、わずかに異なる量だけ曲がります。この現象が分散です。
薄レンズの式 — 共役距離の関係
物体距離 u、像距離 v の薄レンズでは、焦点距離 f は 1/f = 1/u + 1/v を満たし、線倍率は M = −v/u です。既定のサンプル（u = 30 cm、v = 15 cm）は f = 10 cm、M = −0.5。像は実像で、倒立し、物体の半分の大きさです。f が正なら収束（凸）レンズ、負なら発散（凹）レンズ。2 つの動作領域が異なる像を作ります。u > f ではレンズは反対側に実像で倒立の像を結びます（プロジェクターの構成）。u < f では物体と同じ側に虚像で正立の拡大像ができます（虫めがねの構成）。v の符号がすべての幾何を運びます。v が正なら像は実像でレンズの反対側、負なら虚像で物体と同じ側です。眼鏡はこの式で動きます。発散レンズ（負のジオプトリー）は近視の網膜前焦点を網膜へ戻し、収束レンズ（正のジオプトリー）は遠視の網膜後焦点を手前に引きます。ジオプトリーとはメートルでの 1/f にすぎません。
鏡の式 — 反射も像を作る
鏡の式は形が同じです。1/f = 1/u + 1/v、焦点距離は曲率半径と f = R/2 で結び付きます。凹面（収束）鏡は f > 0、凸面（発散）鏡は f < 0。既定のサンプル（R = 20 cm、u = 30 cm、凹面）は f = 10 cm、像距離 v ≈ 15 cm、倍率 M = −0.5。実像で倒立の半分サイズの像です。曲面鏡がレンズに勝つ点が 1 つ。すべての波長で等しく動作することです。最大の望遠鏡（ハッブル、JWST、今後の ELT）がレンズでなく鏡である理由です。車のサイドミラーに使われる凸面鏡は、ガラスの後ろに小さな正立の虚像を結ぶため視野が広くなります。「鏡内の物体は実際より近く見えます」の警告ラベルは、倍率 −v/u が 1 未満と読めるだけのことです。
臨界角 — 全反射
光が密な媒質（n1）から疎な媒質（n2）へ出ようとするとき、入射角が θc = arcsin(n2/n1) を超えると屈折光線は存在しなくなり、光の 100% が反射して戻ります。既定のサンプル（n1 = 1.50 ガラス、n2 = 1.00 空気）は θc ≈ 41.81°。それより浅いガラス‐空気の光線はすべて閉じ込められます。これが光ファイバーの原理です。臨界角を超えて注入された光は、吸収以外の損失なしにコア沿いに何キロも跳ね続けます。ダイヤモンドが炎のように見えるのは一部、非常に高い n（≈2.42）のためでもあります。臨界角はわずか約 24° しかなく、テーブル面から入った光は内部の面をもっと浅い角度で当たって上に反射し戻ります。あの特徴的なきらめきです。
回折格子 — 干渉で波長を分ける
格子とは多数の平行スリットで、隣接スリットの光路差が構成的干渉を決めます。d·sinθ = m·λ。d はスリット間隔、θ は回折角、m は次数（0、±1、±2、...）。既定のサンプル（600 本/mm、m = 1、θ = 20°）は λ ≈ 570.03 nm。黄色の帯で、パネルは色を正しく識別します。分光に格子がプリズムに勝つのは、分散が波長について線形で、分解能が m·N（N は照らされた線数）、そして幾何的に毎 mm 数千本の装置を作れるからです。同じ格子の式が、CD や DVD の虹色、蝶の羽の虹色のつや、結晶学の X 線回折スペクトルも説明します。
ブリュースター角 — 無料で手に入る偏光
θb = arctan(n2/n1) で、反射光と屈折光は互いに垂直になり、反射光は電場が面に平行な完全な偏光になります。既定のサンプル（空気 n1 = 1.00、ガラス n2 = 1.50）は θb ≈ 56.31°。ブリュースター角は、偏光サングラス（ボンネットや水面から反射する水平グレアを遮る向きのレンズ。典型的な表面では 30～40° 付近で s 偏光）と、レーザー共振器（ブリュースター窓が一つの偏光の反射損失を消す）の動作原理です。θb 以外の角度では反射は部分的にしか偏光せず、だから反射日光は混ざり合ったままなのです。
よくある誤解
- ガラスは当たった光のほとんどを「吸収」する。きれいなガラスはほとんど何も吸収しません。各表面で数パーセントを反射し（フレネル反射、垂直入射で表面あたり約 4%）、残りを屈折するだけです。反射防止コーティングは、2 つの反射波を破壊的に干渉させるλ/4 層です。
- 凸レンズは常に拡大、凹レンズは常に縮小。物体距離によります。収束レンズは物体が焦点距離の内側にあるとき拡大された虚像を作ります（虫めがね）。発散レンズが実像を作れるのは物体が虚像のときだけで、日常では決してありません。
- 回折はすべての像をぼかす。回折が意味を持つのは、開口が波長に匹敵するときだけです。5 mm のカメラの絞りの回折ぼけは約 λ/D ラジアン ≈ 0.0001 rad で、通常の視認では見えません。同じスケールの顕微鏡対物レンズ（D ~ 1 mm、λ ~ 500 nm）の回限界分解能は約 0.3 μm。油浸や短波長の光でその限界を超える理由です。
- プリズムの光はプリズムに「割かれる」。光が分かれるのは屈折率が波長で変わるからです。すべての色で n が同じなら（色消し設計）、プリズムは白光を屈折はしても分散はしません。同じ理由でレンズは色収差を持ち、だからカメラレンズは色消し貼り合わせ複レンズを使います。
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