波動と振動とは？
振動と波動は、同じ物理が違う衣装を着たものです。振動とは、つり合い位置のまわりを行ったり来たりするすべてのもの — バネについた質点、振り子の錘、コンデンサの電圧、ギター弦の高さ、音波の中の圧力。波動とは旅をする振動です。同じ往復運動が空間の各点でわずかに違う時刻で起こり、スナップショットは伝播する正弦波模様を示します。どちらも単一の微分方程式、単振動子（SHM）x''(t) = -ω²x(t) に支配され、その一般解は正弦波 x(t) = A cos(ωt + φ) です。ここから周期 T = 2π/ω、周波数 f = ω/(2π)、最大速度 vmax = Aω、最大加速度 amax = Aω²。このページの 6 つのパネルが定番の場面をカバーします。単振動そのもの、時計としての振り子、進行波の波動方程式 v = fλ、音源や観測者が動くときのドップラーシフト、バネ上の質点の電気的類比としての LC 共鳴、近い 2 音が干渉するときのうなり周波数。
1 つの式に 6 つの顔。x(t) = A cos(ωt + φ) が単振動のテンプレートです。x に適切な物理変数（振り子なら角度、LC 回路なら電荷、音なら圧力、光なら電場）を、ω にその系の適切な値（振り子は √(g/L)、LC 回路は 1/√(LC)、バネ上の質点は √(k/m)）を当てはめれば、同じ正弦波がここの 6 つのパネルすべてを記述します。周期、周波数、最大速度、最大加速度は普遍で、変わるのは記号の置き換えだけです。
単振動 — 普遍の正弦波
単振動とは、復元力（やトルク、電圧、圧力差）がつり合いからの変位に比例する運動すべてです。バネ上の質点が教科書の場面です。F = -kx は x'' = -(k/m)x を生み、ω = √(k/m)。任意の時刻の位置は x(t) = A cos(ωt + φ)、速度 v(t) = -Aω sin(ωt + φ)、加速度 a(t) = -Aω² cos(ωt + φ)。サンプル（A = 0.1 m、ω = 6.28 rad/s）では T = 2π/ω ≈ 1.0005 s、f = ω/(2π) ≈ 0.9995 Hz、vmax = Aω = 0.628 m/s、amax = Aω² ≈ 3.9438 m/s²。時刻 t も入力すれば、計算機は瞬時の x(t)、v(t)、a(t) を報告します。90° 位相のずれた 3 つの正弦波です。単振動は原子格子（フォノンのモデル）、交流回路（電圧と電流が ω = 2πf で正弦的に振動）、つり合いのまわりのあらゆる微小振動に現れます。
単振り子 — バネのいらない時計
長さ L の振り子が重力 g のもと小さな角度（θ < 約 15°）で振れるとき、単振動の方程式を ω = √(g/L) で満たします。周期は有名な T = 2π√(L/g) で、ガリレオが最初に指摘したように、錘の質量にも振り幅にも依存しません。L = 1 m、g = 9.81 m/s²（地球）で T ≈ 2.006 s。メートルに最初の定義を与えた「秒振り子」（半周期 ＝ 1 s）です。月（g = 1.62 m/s²）では同じ 1 m の振り子が T ≈ 4.94 s、火星（g = 3.72 m/s²）では T ≈ 3.26 s。振幅が約 15° を超えると小角近似はずれ始め、補正項が入ります。だから本物の柱時計は短く速い振り子ではなく、長くゆっくりの振り子（低振幅）を使います。錘の質量は √(g/L) で消えます。同じ紐の重い錘も軽い錘も同じ周期を保ちます。
波動方程式 v = fλ — 1 行に 3 つの未知数
音、光、水、地震、すべての進行波は同じ基本関係に従います。v = fλ — 波の速度は周波数×波長。ここでは 3 つのモードで、他の 2 つからどれか 1 つの未知数を解きます。サンプル（f = 440 Hz、λ = 0.78 m）は v = 343.2 m/s。20°C の空気中の音速そのものです。3 つの基準速度が桁を固定します。空気中の音は約 343 m/s、水中の音は約 1480 m/s、真空中の光は c = 3×10⁸ m/s。波をある媒質から別の媒質へ変えるには屈折のスネルの法則（光学ページ）を使いますが、単一の均質な媒質の中では v は媒質の性質で決まります（音は密度と硬さ、光は誘電率と透磁率）。
ドップラー効果 — 運動で音程が変わるとき
ドップラー効果とは、音源と観測者が相対的に動くときに観測周波数が変わる現象です。古典的な式は f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)。分子の上側符号は観測者が音源に近づくとき（高い音程に聞こえる）、分母の下側符号は音源が観測者に近づくとき（やはり高く聞こえる）です。サンプル（f = 1000 Hz、v = 343 m/s、音源静止、観測者が 30 m/s で音源へ）：f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087.46 Hz。+87.46 Hz、+8.75% のシフトです。同じ 30 m/s で音源が静止した聴者に近づいても同じ答えです（式は対称）。高速では相対論補正が効いてきます。30 m/s の車を測るレーダーガンでは γ 因子は 1 と約 5×10⁻¹⁷ しか違わず、だから音には古典式で十分ですが、光には相対論版が必要です。
LC 共鳴 — 振り子の電気的な類比
LC 回路（インダクタンス L とコンデンサ C の回路）は、バネ上の質点の電気的類比です。電荷が変位の役、電流が速度の役、インダクタンス L が質量の役、1/C がバネの硬さの役を務めます。電荷は ω = 1/√(LC) で振動し、同じことは f = 1/(2π√(LC)) でもあります。サンプル（L = 100 mH、C = 10 μF）は LC = 1×10⁻⁴、√(LC) = 1×10⁻⁷ なので、f ≈ 159.15 Hz、角周波数 ω ≈ 1000 rad/s、周期 T ≈ 6.28×10⁻⁷ s。実際の LC 回路には抵抗もあり、振動を減衰させます。その減衰率を最小にするのが AM ラジオの同調です。ちょうど f の駆動源を加えると回路は共鳴し、電圧と電流の振幅は非共鳴時よりはるかに大きくなります。
うなり周波数 — 2 音と 1 つの包絡線
周波数がわずかに違う 2 音が同時に鳴ると、空気圧は 2 つの正弦波の和です。三角法により、これは平均周波数 fp = (f1 + f2)/2 の余弦波が、fbeat = |f1 − f2| のゆっくりな包絡線で変調されたものに等しくなります。耳は平均音程がうなりの速さで強弱を繰り返すのを聞きます。サンプル（f1 = 440 Hz、f2 = 445 Hz）は fbeat = 5 Hz、fp = 442.5 Hz、うなり周期 0.2 s。毎秒 5 回のはっきり聞こえる脈動です。約 10 Hz 未満ではうなりは独立した脈動に聞こえ、約 30 Hz を超えるとざらつきやトレモロに溶け合います。ピアノ調律師はこれを利用します。基準音と調整中の弦を鳴らし、うなりを聞き、うなりが消えるまで微調整します。完全に合うと fbeat = 0 で、計算機は「同一周波数 — うなりなし」と報告します。
よくある誤解
- 周期と周波数は同じもの。T（1 周あたりの秒数）と f（毎秒の周期数）は逆数です。T = 1/f。0.5 Hz の振動は 1 周するのに 2 秒かかります。
- 振り子の周期は振幅にわずかにしか依存しない。有限振幅 θ0 の厳密な周期は T = T0·(1 + θ0²/16 + πθ0⁶/…)。15° で 0.7%、30° で約 1.7% の補正で、入門問題では通常無視されます。
- ドップラーシフトは音源が動いても観測者が動いても同じ。音源が静止した観測者に近づく場合も、観測者が静止した音源に同じ速度で近づく場合も、音程のシフトは同一です（非相対論では）。
- 共鳴は最大振幅と同じではない。共鳴は ωdrive = ωnatural という条件です。減衰があればピーク振幅は無減衰の値より下で、減衰がなければ振幅は際限なく成長します（非線形性によってのみ制限）。
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