ベクトル計算

2D & 3D のベクトル演算。リアルタイムの Canvas 矢印可視化付き。内積、外積、なす角、大きさ、単位ベクトル、ベクトルの加算・分解を計算。あわせて：力学 | 回路 | 熱力学。
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ベクトル演算：内積：A·B = AxBx + AyBy（3D は + AzBz）。外積（3D）：A×B = (AyBz-AzBy, AzBx-AxBz, AxBy-AyBx)。なす角：θ = arccos(A·B/(|A||B|))。射影：proj_BA = (A·B/|B|²) B。単位ベクトル：u = A/|A|。大きさ：|A| = √(Ax² + Ay² + Az²)。
ベクトルとは？

ベクトルとは大きさと向きの両方を持つ量です。力、速度、加速度、運動量、電場・磁場、角運動量。対照的にスカラーはただの数です。質量、時間、エネルギー、温度。幾何学的にはベクトルは、長さが大きさ、角度が向きの矢印として描かれ、代数的には成分の順序リストで、平面上で 2 つ、空間で 3 つです。ベクトルで行うことのほぼすべてを 6 つの演算がカバーします。大きさ |A| = √(Ax² + Ay² + Az²)、成分ごとの加算、内積 A·B = ΣAiBi、外積 A×B（3D のみ）、cosθ = A·B/(|A||B|) からのなす角、単位ベクトル・射影。このパネルは 6 つすべてを 2D と 3D で実装し、即座に Canvas プロットで可視化します。2 本の矢印とその和や積を見ることは、抽象的な操作と物理的直観の間の差です。

3 つの積が必要なすべてをこなします。内積（向きの揃いを測るスカラー、A·B = |A||B|cosθ）、外積（両入力に垂直なベクトル、大きさ |A||B|sinθ）、そして射影演算（選んだ方向に沿った A の成分）。これらが、2 つ以上のベクトルを含むあらゆる物理公式の簿記です。
大きさと 2D の定番例

3-4-5 の直角三角形は 2D ベクトルの定番例です。A = (3, 4) とすると、大きさは |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5。+x 軸からの方角は arctan(4/3) ≈ 53.13°。任意の 2D ベクトルは、大きさ × その向きを指す単位ベクトルとして書けます。A = 5·(0.6, 0.8)。分解パネルは大きさと角度 θ・φ を受け取り、球面座標の規約（x = r cosθ cosφ、y = r cosθ sinφ、z = r sinθ）または平面（φ を無視して x = r cosθ、y = r sinθ）で x、y、z 成分を返します。r = 10、θ = 36.87° の 2D モードでは (8, 6, 0) を返します。元の 3-4-5 を拡大した 6-8-10 の直角三角形です。これらの整数比三角形を見分けるのは、三角法を持ち出さずにどの成分が垂直かを見抜く近道です。

内積 — 向きの揃いのスカラー測度

2 つのベクトル A、B の内積 A·B = AxBx + AyBy（+ AzBz）は |A||B|cosθ に等しいスカラーです。つまり大きさの積 × なす角のコサイン。既定の 2D サンプル（A = (3, 4)、B = (5, 2)）は A·B = 15 + 8 = 23、大きさ |A| = 5、|B| = √29 ≈ 5.385、cosθ = 23/(5 × 5.385) = 23/26.93 ≈ 0.854 で θ ≈ 31.33°。3 つの符号の帰結がすべての解釈を運びます。cosθ > 0 は鋭角でベクトルがほぼ同じ向き、cosθ < 0 は鈍角で向き合う、cosθ = 0 は垂直。内積は力 F が変位 d に沿ってする仕事（W = F·d）で、角度を持って押すのが運動の直線上で押すより効かないのはこのコサインのためです。

外積 — 両入力に垂直なベクトル

外積は 3D 専用の演算で、結果は両入力に垂直なベクトルです。大きさは |A||B|sinθ、向きは右手則で決まります（人差し指を A に、中指を B に向けると、親指が A×B を示す）。成分では A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx)。既定の 3D サンプル（A = (2, 3, 4)、B = (5, 1, 2)）は A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13)。外積は反対称で、B×A = −A×B。入力を交換すると符号が反転します。物理での 3 大出演は、トルク τ = r×F（回転の力）、角運動量 L = r×p（軌道角運動量）、動く電荷にはたらく磁気力 F = qv×B。大きさ |A×B| は 2 ベクトルが張る平行四辺形の面積に等しく、だから外積の結果は常に面積か回転を記述します。トルクは外積の実演です。τ = r×F の大きさは |r||F|sinθ なので、支点を貫いて押せばゼロ、長いレンチならより大きくなります。

ベクトルのなす角

内積と大きさがあれば、なす角は逆余弦 1 回です。cosθ = A·B/(|A||B|)、θ は [0, π]。大きさに対して内積が小さければほぼ垂直、内積が |A||B| に等しければ同じ向き（θ = 0）、−|A||B| なら反対（θ = π）。式は 2D でも 3D でも同じで、違うのは成分和の次元だけです。幾何学的には、内積は A を B へ（または B を A へ）射影して他方の大きさを掛けたものと見なせ、コサインは文字どおり射影の比です。

単位ベクトルと射影

単位ベクトルは大きさ 1 で元と同じ向きのベクトルです。u = A / |A|。単位ベクトルは「純粋な向き」を表す方法で、直交座標の i、j、k 基底ベクトルが定番の例です。3D の任意の向きはそれらの線形結合で書けます。B への A の射影（B に沿った A の成分）は projBA = (A·B / |B|²) · B — A のうち B に沿って横たわる部分です。スカラー版（A·B/|B|）はその射影の符号付き長さです。これが内積を仕事の式にするものです。力に沿った変位成分 × 力の大きさが、なされる仕事です。

よくある誤解
  • 内積はベクトルのかけ算。内積はスカラー積です — ベクトルではなく数を生みます。同様に外積はベクトル積です。「かけ算」と呼ぶと、出力が全く異なる事実を隠してしまいます。
  • 外積はスカラー。2D では垂直成分がスカラー（行列式 axby − aybx）として呼ばれることがありますが、3D では外積は真にベクトルです。大きさも向きも物理的に意味を持ちます。
  • 外積は可換。反可換です。A×B = −B×A。順序が重要で、トルク r×F は F×r と逆向きの意味を持ちます。
  • ベクトルは固定された位置を持つ。ベクトルは自由です — 紙面の上を滑らせても変わりません。固定されているのは大きさと向きで、位置ベクトルや点での電場など、物理の特定のベクトルだけが位置に結び付きます。

関連ツール：文脈の中のトルク・仕事・角運動量は力学、外積がどう角運動量を作るかは回転力学、磁気力 F = qv×B は回路。