不確かさ & 誤差伝播計算機

測定の不確かさを解析します。有効数字の計数、誤差伝播の規則、標準偏差の計算、拡張不確かさ解析。あわせて：電卓 | 力学 | 定数。
有効数字の規則：(1) 0 でない数字はすべて有効。(2) 0 でない数字の間の 0 は有効。(3) 先頭の 0 は有効でない。(4) 小数点以下の末尾の 0 は有効。(5) 小数点のない末尾の 0 は曖昧（科学表記を推奨）。
測定の不確かさとは？

すべての測定は、正直な伴侶を連れた数字です。どれだけ確信できるか？その伴侶には 2 つの部分があります。測定を繰り返せば平均して小さくなる偶然誤差と、何回測っても消えない偏りである系統誤差です。だから、どんな量の正直な報告も x ± u(x) になります。u は well-defined な不確かさで、± 記号は「この確率でほぼこの範囲」の略記です。このパネルの 4 つの計算機が実用ツールをカバーします。有効数字の計数（簿記の近道）、和・差・積・商・べき乗を通じた不確かさの伝播（過ちの微積分）、標準偏差（データの広がり）、そして GUM 式の複数独立成分の合成不確かさ。

2 種類の誤差、正反対の振る舞い。偶然誤差は N の平方根で縮みます（σ/√N）。平均を取れば必ず勝てます。系統誤差はまったく縮みません。だから校正が反復より重要なのです。σ が小さくても、偏りのせいで間違っている測定があり得ます。
有効数字 — 簿記の近道

有効数字とは、確信を持って分かっている桁のことです。桁合わせのために詰められた 0 は違います。5 つの規則：(1) 0 でない数字はすべて有効、(2) 0 でない数字の間の 0 は有効、(3) 先頭の 0 は有効でない（小数点の位置を示すだけ）、(4) 小数点より下の末尾の 0 は有効、(5) 小数点のない末尾の 0 は曖昧（科学表記を使う）。既定値 0.0070800 はしたがって 5 桁の有効数字（7, 0, 8, 0, 0）で、(7.0800 ± 0.00005)×10−3 と読めます。0.0070800 と報告することは 7.0800×10−3 と同じ精度を意味し、0.00708 なら精度は千分の一です。この近道は教科書の報告に使えます。実際の測定では不確かさ u が正直な数で、有効数字は毎回 ± を書かずにそれを表す便利な方法です。

誤差伝播 — 過ちの微積分

z = f(x, y) に対する独立な不確かさの合成規則は σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy²。実用の 4 演算では次のように簡約します。加減算は絶対誤差を二乗和の根で足す σz = √(σx² + σy²)。乗除算は相対誤差を二乗和の根で足す σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²)。べき乗 xn は相対誤差を |n| 倍する σz/z = |n|σx/x。既定のサンプル（x = 10 ± 0.3、y = 5 ± 0.2、加算）は z = 15、σz ≈ 0.36、つまり 15.00 ± 0.36（相対約 2.4%）。同じ入力で乗算に切り替えると z = 50 ± 2.5（相対 5%）。同じ ± の値でも伝播規則は全く異なり、積の相対不確かさは相対不確かさの二乗和の根になります。和差には絶対不確かさが、積商には相対不確かさが正しい通貨です。

標準偏差 — データの広がり

標準偏差 σ は平均からの偏差の二乗平均平方根です。データが何を表すかで 2 つの版があります。母集団 σ = √(Σ(xi − x̄)² / n) は既知の集合全体の広がりを表し、標本 s = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) は標本が取り出されたより大きな母集団の広がりを推定します。既定のサンプル（12.2 から 12.8 の 10 個、平均 12.5）は 母集団 σ ≈ 0.1732、標本 s ≈ 0.1826、SEM = s/√N ≈ 0.0577。平均そのものの不確かさは σ/√N（標本版は s/√N）なので、1 つの量を 25 回測って平均すれば、1 回より不確かさが 5 分の 1 になります。標準偏差は信頼区間にも供給します。正規分布では ±1σ が 68.3%、±2σ が 95.5%、±3σ が 99.7% を含みます。

拡張不確かさ — すべての原因の合成

測定に複数の独立な誤差源（器具の分解能、校正、再現性、温度ドリフト、操作者の影響）があるとき、GUM 式の合成不確かさは uc = √(Σui²)。原因は A タイプ（統計的、データから）と B タイプ（その他、判断やメーカー仕様で推定）に分類され、どちらも同じ形で uc に入ります。包含係数 k が選んだ信頼度に区間を拡大します。k = 1 で 68.3%、k = 2 で 95.5%、k = 2.58 で 99.0%、k = 3 で 99.7%。既定のサンプル（0.15、0.08、0.05、0.03 mm の源、k = 2）は uc ≈ 0.1797 mm、U = k·uc ≈ 0.3595 mm（95.5%）。報告値はその信頼度で（測定値 ± 0.36）mm になります。GUM（ISO/IEC Guide 98-3）がこの手順の国際標準です。A タイプ成分は繰り返し読み取りの統計から、B タイプは器具仕様と判断から来て、両者は同じ二乗和の根で合成されます。

よくある誤解
  • 有効数字が多いほど測定は正確。その桁が本当に測定から来たのであれば、です。手書きの「12.34567 m」が 1000 万分の 1 の精度なわけではありません。有効数字は精度を伝える方法であって、発明する方法ではありません。でっち上げの桁を並べるより ± を報告する方が正直です。
  • 系統誤差は平均で減らせる。逆です。偶然誤差は 1/√N で縮みますが、系統的な偏り（校正ズレの秤、ズレたゼロ点）は何回測っても動きません。偏りを特定して取り除くのです。壊れた実験での「データがすごく再現性ある！」はこの罠です。
  • 標準偏差は 1 回の測定の誤差を語る。標準偏差が特徴づけるのは分布の広がりで、個々の試行の誤差ではありません。N 個の標本から x̄ をどれだけよく知っているかを報告するときの適切な量は、平均の標準誤差（s/√N）です。
  • 不確かさは常に最終桁の ±。標準的な規約は「不確かさを 1 桁（時々 2 桁）の有効数字に丸め、値をそれに合わせて丸める」です。12.345678 ± 0.234 という測定は 12.35 ± 0.23 と報告すべきで、12.345678 ± 0.234 ではありません。

関連ツール：基礎の確率分布は統計、数値を生む実験の構成は力学、伝播の代数は電卓。