고전 역학과 전자기학은 속도가 빛의 속도에 접근하거나 크기가 원자 스케일에 접근할 때까지 아름답게 작동합니다. 현대 물리학은 그 너머의 영역입니다. 세 갈래로 나뉩니다. 특수 상대론(고속, c가 속도 한계이고 질량·길이·시간이 관측자에 의존), 양자 역학(미시, 에너지가 양자화되고 입자가 파동성을 지니며 관측 자체가 결과에 영향), 그리고 핵 및 입자 물리학(원자핵의 결합과 붕괴, 질량 자체가 에너지의 저수지). 이 패널의 여섯 계산기가 세 갈래에서 떨어져 나오는 방정식들을 커버합니다 — 로런츠 수축과 팽창, 드 브로이 파장, 광전 효과, E = mc², 방사성 붕괴, 수소의 보어 모형 — 그리고 그 모두를 관통하는 보편 상수 c, h, eV.
두 보편 상수가 여기서 거의 전부를 합니다: 상대론에는 c = 299,792,458 m/s(빛의 속도는 모든 관측자에게 모든 방향에서 같음), 양자론에는 h = 6.626×10−34 J·s(모든 상호작용이 hf 크기의 덩어리로 에너지를 교환). 원자 스케일 작업에는 환산 1 eV = 1.602×10−19 J을 더하면 패널의 숫자 대부분이 머릿속에 들어옵니다.
특수 상대론 — c가 한계다
아인슈타인의 1905년 공준: 빛의 속도 c는 모든 관성계에서 같고, 물리 법칙은 모든 관성계에서 같습니다. 시간과 길이에 대한 결과는 로런츠 인자 γ = 1/√(1 − v²/c²)로, 움직이는 계에서 시간을 부풀리고(Δt = γ·T0) 길이를 줄입니다(L = L0/γ). 기본 샘플(v = 0.8c, T0 = 1초, L0 = 10m)은 γ ≈ 1.667을 주어, 빠르게 가는 배의 시계가 고유시간 1초를 차릴 때 정지 관측자에게는 1.667초가 지나고, 10m 배는 6m로 보입니다. v = 0.5c에서 γ는 겨우 1.155 — 거의 눈에 띄지 않고, v = 0.99c에서 γ는 7.09로 상대론 효과가 극적입니다. GPS 네트워크는 궤도 속도에서의 위성 시계 시간 팽창(약 45 μs/일 느림)과 중력 청색편이(약 45 μs/일 빠름)를 보정해야 하며, 둘은 거의 상쇄되지만 정확히는 아닙니다 — 보정하지 않으면 하루 만에 GPS 위치가 약 10km 빗나갑니다.
드 브로이 파장 — 물질도 파동이다
빛은 파동이자 입자입니다. 대칭에 따라 운동량 p를 지닌 모든 입자는 파장 λ = h/p = h/(mv)의 파동이기도 합니다. 기본 샘플(v = 106 m/s의 전자)은 λ ≈ 0.727nm를 주며, X선/연X선 경계입니다. 이것이 전자 현미경의 분해 한계입니다 — 전자 현미경이 광학 현미경을 크기 자릿수로 이기는 이유입니다. 40 m/s(160 km/h)의 야구공은 λ ≈ 10−34m으로 양성자보다 몇 자릿수 작아, 야구공이 펜스를 회절하지 않는 이유입니다. 파동-입자 이중성은 보편적이며, 상수 h만이 일상 물질이 양자 물체처럼 보이지 않게 막습니다.
광전 효과 — 양자화의 증명
금속에 비춘 빛이 전자를 튀겨내지만, 광자 에너지가 금속의 일함수 φ를 넘을 때만 그렇습니다. KE = hf − φ, f는 빛의 진동수, h는 플랑크 상수. 기본 샘플(구리 비슷한 φ = 4.3eV 표면, λ = 200nm 자외선)은 광자 에너지 hf = 1240/200 = 6.2eV와 전자 운동 에너지 1.9eV, 전자 속도 약 8.16×105 m/s를 줍니다. 임계 진동수(φ/h Hz, 또는 1240/φ nm-eV — 구리는 288nm) 아래에서는 세기와 무관하게 전자가 나오지 않습니다. 이 효과가 1905년 파동-입자 논쟁을 끝낸 실험입니다. 고전 물리는 전자 에너지가 진동수가 아니라 세기에 의존한다고 예측했기 때문입니다.
E = mc² — 질량은 에너지다
질량-에너지 등가 E = mc²는 질량을 에너지에 거대한 비례 상수(c² = 8.988×1016 J/kg)로 묶습니다. 질량 1킬로그램은 8.988×1016J을 지니며, 21.5메가톤 열핵 무기가 방출하는 에너지입니다 — 또는 동등하게, 전 세계 경제의 일일 에너지 사용량(~5×1020J)에 질량 소멸 약 5,500kg이면 충분합니다. 실제로 변환은 완전하지 않습니다. 핵분열은 질량 에너지의 약 0.1%, 핵융합은 약 0.7%, 물질-반물질 소멸만 100%를 냅니다. 질량 결손(핵자 질량의 합과 실제 핵 질량의 차이)이 그 핵이 형성될 때 방출되는 결합 에너지이며, 모든 핵 데이터 핸드북에서 결합 에너지 표가 질량 표 옆에 놓이는 이유입니다.
반감기 — 확률적 시계
모든 불안정 핵은 나이나 화학 환경과 무관하게 단위 시간당 고정된 붕괴 확률을 지닙니다. 결과는 지수 붕괴입니다. N(t) = N0·(1/2)t/T½. 기본 샘플(N0 = 1000개, T½ = 10초, t = 25초)은 N ≈ 176.78명의 생존자(약 17.7%)와 823.22 붕괴(82.3%)를 2.5반감기 뒤에 줍니다. 평균 수명은 τ = T½/ln(2) ≈ 1.443·T½입니다(어떤 원자는 중앙값보다 훨씬 오래 살아서 평균 원자는 반감기보다 오래 삽니다). 붕괴 상수 λ = ln(2)/T½는 단위 시간당 확률이고, 활동도 A = λ·N은 초당 붕괴 수로 단위는 베크렐(1 Bq = 1 붕괴/초)입니다. 탄소-14 연대측정이 이 정확한 관계를 T½ = 5,730년으로 써서 약 5만 년까지의 유기물을 측정하며, 더 오래된 샘플에는 칼륨-아르곤(T½ = 12.5억 년)이 인수합니다.
보어 수소 — 양자화된 궤도
가장 단순한 양자 원자: 전자는 에너지 En = −13.6/n² eV인 특정 궤도에만 앉을 수 있습니다(n = 1, 2, 3, ...). 궤도 사이 전이는 차이에 해당하는 에너지의 광자를 내거나 받습니다. 기본 샘플(ni = 3 → nf = 2, Hα선)은 ΔE ≈ 1.889eV와 파장 ≈ 656.5nm, 짙은 붉은 Hα선을 줍니다 — 사진에서 방출 성운을 분홍으로 물들이는 바로 그 파장입니다. n = 1로의 전이는 라이만 계열(자외선), n = 2는 발머 계열(가시광), n = 3은 파셴 계열(근적외선) 등을 만듭니다. 보어 모형은 세부에서는 틀렸지만(실제 수소 원자는 궤도가 아니라 확률 구름을 가진 슈뢰딩거 방정식으로 기술됨) 수소 스펙트럼을 정확히 예측하고 고전에서 양자 사고로 가는 다리 역할을 할 만큼은 옳습니다.
흔한 오해
- 시간 팽창은 그저 원근감이다. 팽창된 시간은 겉보기가 아니라 물리적입니다. 우주선이 대기 상층에서 만든 뮤온이 지면에 도달하는 것은(우리 계에서) 높은 γ가 수명을 그만큼 늘리기 때문입니다. 뮤온 자신은 대기가 수축된 것을 보며 물리는 같습니다 — 두 시각 모두 지면에 무엇이 도달하는지에 동의합니다.
- E = mc²가 질량을 에너지로 바꾼다. 질량이 에너지가 "되는" 게 아니라 질량 이 에너지입니다. 방정식은 질량과 에너지가 다른 단위로 잰 같은 양임을 말합니다. 구성 핵자보다 Δm 가벼운 핵은 Δm·c²의 결합 에너지를 방출한 것이며, 그 에너지는 언제나 거기 있었습니다. 질량이 아닌 형태로.
- 빛은 "파동 아니면 입자"다. 어느 쪽도 혼자가 아닙니다. 빛은 간섭에서는 파동으로, 방출/흡수에서는 입자(광자)로 행동합니다. 두 기술은 모순이 아니라 상보적입니다.
- 상대론적 질량은 속도와 함께 커진다. 현대 용법은 이 개념을 버렸습니다. "질량"은 정지 질량 m0뿐입니다. 총 에너지는 γ와 함께 자라지만(E = γm0c²) 그것을 "상대론적 질량"이라 부르는 것은 4-운동량의 기하를 가리고 더 이상 표준이 아닙니다.
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