벡터 계산기

실시간 Canvas 화살표 시각화를 곁들인 2D 및 3D 벡터 연산. 내적, 외적, 각도, 크기, 단위벡터, 벡터 덧셈/분해를 계산합니다. 그리고: 역학 | 회로 | 열역학.
연산 선택:
x y
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벡터 연산: 내적: A·B = AxBx + AyBy (3D는 + AzBz). 외적 (3D): A×B = (AyBz-AzBy, AzBx-AxBz, AxBy-AyBx). 각도: θ = arccos(A·B/(|A||B|)). 사영: proj_BA = (A·B/|B|²) B. 단위벡터: u = A/|A|. 크기: |A| = √(Ax² + Ay² + Az²).
벡터란?

벡터는 크기와 방향을 모두 가진 양입니다. 힘, 속도, 가속도, 운동량, 전기장과 자기장, 각운동량. 대조적으로 스칼라는 그냥 수입니다. 질량, 시간, 에너지, 온도. 기하적으로 벡터는 길이가 크기이고 각도가 방향을 주는 화살표로 그려지며, 대수적으로는 성분의 순서 목록입니다. 평면에서는 둘, 공간에서는 셋. 여섯 연산이 벡터로 하는 일의 거의 전부를 커버합니다. 크기 |A| = √(Ax² + Ay² + Az²), 성분별 덧셈, 내적 A·B = ΣAiBi, 외적 A×B(3D 전용), cosθ = A·B/(|A||B|)로부터의 각도, 그리고 단위벡터/사영. 패널은 여섯을 모두 2D와 3D로 구현하고 즉시 Canvas 플롯으로 시각화합니다 — 두 화살표와 그 합이나 곱을 보는 것이 추상 조작과 물리 직관의 차이입니다.

세 곱이 필요한 모든 것을 합니다: 내적(정렬을 재는 스칼라, A·B = |A||B|cosθ), 외적(두 입력에 수직인 벡터, 크기 |A||B|sinθ), 그리고 사영 연산자(A를 고른 방향에 내놓은 성분). 벡터를 하나보다 많이 쓰는 모든 물리 공식의 장부가 이것들입니다.
크기와 2D 표준 예시

3-4-5 직각삼각형이 2D 벡터의 표준 예시입니다. A = (3, 4)를 취하면 크기는 |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5이고, +x축으로부터의 방향은 arctan(4/3) ≈ 53.13°입니다. 모든 2D 벡터는 그 방향을 가리키는 단위벡터에 크기를 곱한 것으로 쓸 수 있습니다. A = 5·(0.6, 0.8). 분해 패널은 크기와 각도 θ, φ를 받아 구면 관례(x = r cosθ cosφ, y = r cosθ sinφ, z = r sinθ) 또는 평면 관례(φ 무시, x = r cosθ, y = r sinθ)로 x, y, z 성분을 돌려줍니다. r = 10, θ = 36.87°를 2D 모드에서 넣으면 (8, 6, 0)이 나옵니다 — 원래 3-4-5에서 스케일된 6-8-10 직각삼각형입니다. 이런 정수 삼각형을 알아보는 것이 삼각법을 부르지 않고 어느 성분이 수직인지 짚는 지름길입니다.

내적 — 정렬의 스칼라 측도

두 벡터 A와 B의 내적 A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz)는 |A||B|cosθ와 같은 스칼라입니다 — 크기의 곱에 그 사이 각도의 코사인을 곱한 것. 기본 2D 샘플(A = (3, 4), B = (5, 2))은 A·B = 15 + 8 = 23, 크기 |A| = 5와 |B| = √29 ≈ 5.385, 그리고 cosθ = 23/(5 × 5.385) = 23/26.93 ≈ 0.854를 주므로 θ ≈ 31.33°입니다. 세 부호 결과가 해석 전부를 나릅니다. cosθ > 0이면 각이 예각이고 벡터들이 대체로 같은 쪽을 가리키고, cosθ < 0이면 둔각이고 서로 반대이며, cosθ = 0이면 수직입니다. 내적은 힘 F가 변위 d를 따라 한 일(W = F·d)이고, 코사인이 운동 방향을 따라 미는 것보다 비스듬히 미는 게 덜 효과적인 이유입니다.

외적 — 두 입력에 모두 수직인 벡터

외적은 결과가 두 입력에 모두 수직인 벡터인 3D 전용 연산입니다. 크기는 |A||B|sinθ이고 방향은 오른손 법칙이 정합니다(집게손가락을 A에, 가운뎃손가락을 B에 대면 엄지가 A×B). 성분으로는 A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx)입니다. 기본 3D 샘플(A = (2, 3, 4), B = (5, 1, 2))은 A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13)을 줍니다. 외적은 반대칭입니다. B×A = −A×B이므로 입력을 바꾸면 부호가 뒤집힙니다. 물리에 나타나는 세 장소. 토크 τ = r×F(회전력), 각운동량 L = r×p(궤도 각운동량), 그리고 움직이는 전하에 작용하는 자기력 F = qv×B. 크기 |A×B|는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이이므로, 외적 결과가 언제나 넓이나 회전을 기술하는 이유입니다. 토크는 일하는 외적입니다. τ = r×F의 크기는 |r||F|sinθ이므로 축을 통해 밀면 0이고 렌치가 길수록 더 많습니다.

벡터 사이의 각도

내적과 크기가 있으면 각도는 아크코사인 한 번입니다. cosθ = A·B/(|A||B|), θ는 [0, π]. 크기 대비 작은 내적은 거의 수직인 벡터를 뜻하고, 내적이 |A||B|와 같으면 같은 쪽을 가리키고(θ = 0), −|A||B|와 같으면 반대입니다(θ = π). 공식은 2D와 3D에서 같으며 — 성분 합의 차원만 다릅니다. 기하적으로 내적은 A를 B에(또는 B를 A에) 사영한 뒤 상대의 크기를 곱한 것으로 볼 수 있어, 코사인이 문자 그대로 사영 비율입니다.

단위벡터와 사영

단위벡터는 크기가 1이고 원래 벡터와 같은 방향을 가리키는 벡터입니다: u = A / |A|. 단위벡터는 "순수한 방향"을 나타내는 방법입니다. 데카르트 좌표의 i, j, k 기저벡터가 대표적인 예이며, 3차원의 모든 방향은 이들의 선형결합으로 쓸 수 있습니다. A를 B에 사영한 것(A의 B 방향 성분)은 projBA = (A·B / |B|²) · B입니다 — A 중 B를 따라 놓인 부분입니다. 스칼라 버전(A·B/|B|)은 그 사영의 부호 있는 길이입니다. 이것이 내적을 일의 공식으로 만드는 이유입니다: 힘 방향을 따른 변위 성분에 힘의 크기를 곱한 것이 한 일입니다.

오해
  • 내적은 벡터의 곱셈이다. 스칼라곱입니다 — 벡터가 아니라 수를 만듭니다. 마찬가지로 외적은 벡터곱입니다. "곱셈"이라 부르면 출력이 완전히 다르다는 것이 숨겨집니다.
  • 외적은 스칼라다. 2D에서 수직 성분을 때로 스칼라(행렬식 axby − aybx)라 부르지만, 3D에서 외적은 진짜 벡터입니다. 크기와 방향이 모두 물리적으로 의미 있습니다.
  • 외적은 교환법칙이 성립한다. 반교환입니다. A×B = −B×A. 순서가 중요합니다 — 토크 r×F는 F×r과 반대 방향입니다.
  • 벡터는 고정된 위치를 갖는다. 벡터는 자유입니다 — 바꾸지 않고 페이지 위를 미끄러뜨릴 수 있습니다. 고정된 것은 크기와 방향이며, 물리에서 위치에 묶인 벡터는 특정한 것들(위치 벡터, 한 점의 전기장)뿐입니다.

관련 도구: 토크·일·각운동량의 문맥은 역학, 외적이 각운동량을 만드는 방법은 회전 역학, 자기력 F = qv×B는 회로.