시뮬레이션은 눈에 보이게 만든 방정식입니다: 같은 대수, 같은 상수, 같은 경계 조건 — 매개변수를 바꾸고 결과가 변하는 것을 지켜볼 수 있는 애니메이션으로 렌더링됩니다. 직관을 쌓는 데 쓰세요. 발사각을 바꾸면 사거리가 45°에서 정점을 찍는 것을 보고, 전하 부호를 바꾸면 장 선이 뒤집히는 것을 보고, 파장을 바꾸면 간섭 무늬가 줄거나 퍼지는 것을 보게 됩니다.
포물선 운동 — 표준적인 포물선
높이 h0에서 각도 θ로 초기 속도 v0로 발사된 공은 매개변수 방정식 x(t) = v0 cosθ · t와 y(t) = h0 + v0 sinθ · t − ½g t²를 따릅니다. Canvas는 공이 나는 동안 궤적을 추적하고 최종 사거리, 비행 시간, 최대 높이를 보고합니다. 기본 샘플(v0 = 25 m/s, θ = 45°, h0 = 0, 지구 g = 9.81 m/s²)은 비행 시간 ≈ 3.604초, 사거리 ≈ 63.70m, 최대 높이 ≈ 15.929m를 줍니다. 달 프리셋(g = 1.62)으로 바꾸면 같은 발사가 ≈ 21.82초 만에 ≈ 385.8m에 도달합니다 — 같은 포물선이 여섯 배 길고 멀어, 달 스포츠가 터무니없는 이유이자 우주인 앨런 셰퍼드가 임시 6번 아이언으로 이용한 바로 그것입니다. Canvas는 빨간 점이 공 위치를 추적하며 경로를 다시 그리고 사거리와 최대 높이를 도면에 직접 라벨로 붙입니다.
진자 — 단순조화와 카오스
길이 L의 단진자를 각도 θ에서 놓으면 θ″(t) = −(g/L) sinθ를 따르며, 여기서는 준-암시적 오일러로 적분합니다. 작은 진폭에서는(sinθ ≈ θ) 운동이 단순조화이고 주기는 T = 2π√(L/g)입니다. 지구에서 기본 L = 1.5m는 T ≈ 2.458초를 줍니다. 더 큰 진폭에서는 sinθ가 더 이상 좋은 선형 근사가 아니므로 주기가 조금 길어집니다 — 같은 길이에서 60° 흔들림은 5° 흔들림보다 약 7% 느립니다. 이중 진자는 다른 짐승입니다. 관절에 질량이 달린 두 개의 강체 링크가 결합된 비선형 방정식에 지배되며, 같은 방법으로 적분되지만 카오스를 보입니다. 초기 각도의 아주 작은 차이가 몇 주기 만에 전혀 다른 궤적을 만듭니다 — 결정론적 카오스의 상징이며, 이중 진자가 카오스적 기계계의 교과서 사례인 이유입니다. 드롭다운에서 "단진자"를 "이중 진자"로 바꾸면 두 번째 막대가 나타나 초기각 θ2를 받고, 시작을 누르면 흔들림 패턴이 예측 불가능하게 갈라지는 것을 볼 수 있습니다. 단진자 시뮬도 매 프레임 감쇠합니다(인자 0.9995) — 실제 진자가 공기 저항과 축 마찰에 에너지를 잃는 방식 그대로입니다.
파동 간섭 — 두 점원의 중첩
두 점원이 같은 파장 λ의 원형 파동을 내보냅니다. 평면의 모든 점에서 겹쳐진 파동은 둘의 합입니다. 두 마루가 같은 위상으로 도착하면 진폭이 두 배가 되고(보강 간섭), 한쪽의 마루가 다른 쪽의 골과 만나면 상쇄됩니다(상쇄 간섭). 보강 간섭의 조건은 정수 m에 대해 r1 − r2 = mλ이고, 상쇄 간섭은 r1 − r2 = (m + ½)λ입니다. Canvas는 세기 지도(밝음 = 높은 진폭, 어두움 = 상쇄)를 그리고 r1 − r2 = mλ인 마디선을 겹쳐 그립니다(점선 옵션 포함). 기본 간격(120px = 3λ)은 수직 이등분선을 따라 밝은 띠와 어두운 띠가 번갈아 나타나는 것을 보여줍니다 — 토머스 영의 이중슬릿 실험에서 밝고 어두운 무늬를 만들고 기름막에 반사되는 빛의 색띠를 만드는 바로 그 무늬입니다.
전기장 선 — 밀도가 세기를 부호화
점전하 Q 주위의 전기장은 크기가 E = kQ/r²인 방사형 벡터입니다. 전하가 둘이면 임의 점의 장은 벡터합 Etotal = E1 + E2입니다. Canvas는 소스 영역에서 국소 장 방향으로 4px 크기의 오일러 방법 단계로 16개의 장 선을 추적합니다. 선은 양전하(Q > 0)에서 나와 음전하(Q < 0)에서 끝납니다. 기본 샘플(Q1 = +5, Q2 = −3, |Q1·Q2| = 15)에서 무늬는 왼쪽 빨간 +전하를 떠나 밖으로 휘어지는 선들과, 그 대부분이 오른쪽 파란 −전하에서 끝나는 것, 그리고 몇 개가 무한대로 탈출하는 것(크기가 같지 않으므로)을 보여줍니다. 장선 밀도는 장의 세기에 비례합니다. 촘촘한 선은 강한 장을, 성긴 선은 약한 장을 뜻합니다. 두 부호를 모두 뒤집으면 기하를 바꾸지 않고 선 방향만 뒤집힙니다.
힘 합성 — 다각형 방법
여러 힘이 물체에 작용할 때 합력은 스칼라 합이 아니라 벡터 합입니다. 다각형(머리-꼬리) 방법은 원점에서 시작해 각 힘 벡터를 팁-꼬리로 이어 놓고, 합력 R은 원점에서 마지막 팁까지의 벡터입니다. 성분으로는 Rx = ΣFi cosθi, Ry = ΣFi sinθi, |R| = √(Rx² + Ry²), θR = arctan(Ry/Rx). Canvas는 각 힘을 원점에서 색 화살표로(F1 빨강, F2 파랑, F3 초록) 그리고, 원점에서 마지막 팁까지 합력을 보여주는 점선 보라 선, 팁-꼬리 경로를 따라가는 밝은 회색 다각형 선을 더합니다. 기본 샘플(F1 = 30N at 0°, F2 = 25N at 60°, F3 = 15N at 150°)은 Rx ≈ 29.51N, Ry ≈ 29.15N, |R| ≈ 41.48N, θR ≈ 44.65°를 줍니다 — 방향이 부분적으로 서로 강화되므로 크기가 어떤 단일 입력 힘보다 큽니다.
흔한 오해
- Canvas는 스케치가 아니라 실제 물리를 보여준다. 매 프레임은 이면의 방정식에서 계산됩니다(진자는 오일러 적분, 파동은 중첩, 힘은 벡터 합). 입력을 바꾸면 수학이 바뀌고, 애니메이션은 직접적인 수치 시각화입니다.
- 진자의 주기는 진폭에 달려 있다. 작은 진폭(약 15° 미만)에서는 주기가 진폭과 거의 무관하며 T = 2π√(L/g)와 같습니다. 더 큰 진폭에서는 주기가 눈에 띄게 길어집니다 — 90° 흔들림은 소각 공식이 예측하는 것보다 약 18% 더 걸립니다. 꽃시계의 "초 진자"는 주기를 바위처럼 안정적으로 유지하려고 정확히 작은 진폭으로 설계되었습니다.
- 전기장 선은 실재한다. 장의 시각화이지 물리적 끈이 아닙니다. 실제 전기장은 공간의 모든 점에 있는 벡터이고, 선은 장이 연속적으로 접하는 점들을 이을 뿐입니다. 장 선을 "잡을" 수는 없습니다.
- 다각형 방법과 평행사변형 방법은 다른 답을 준다. 같은 합력을 줍니다. 평행사변형 방법은 두 힘에서 작동하고, 다각형 방법은 임의의 개수로 자연 확장됩니다. 둘 다 벡터 덧셈의 등가 적용입니다.
관련 도구: 수치 운동학 공식은 역학, 성분 분해와 내적/외적은 벡터 계산기, 완전한 진행파 방정식은 파동 및 진동, 전류/전압 대응물은 전기 및 회로, 파동 간섭의 광학 버전(영의 이중슬릿)은 광학 및 빛.
