역학 문제를 풉니다 — 포물선 운동, 자유낙하, 경사면, 뉴턴 법칙, 운동량, 에너지 계산.
그리고: 공학용 계산기 | 방정식 풀이 | 공식 레퍼런스.
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매개변수
물체 매개변수
가한 힘 (충격량에 선택)
운동 에너지
위치 에너지
일과 일률
포물선 운동: 사거리 R = v² sin(2θ) / g, 최대 높이 H = v² sin²(θ) / (2g), 비행 시간 T = 2v sin(θ) / g. 표준 모형은 공기 저항을 무시합니다.
자유낙하: v = gt, h = ½gt², v = √(2gh). 여러 행성 중력 프리셋.
경사면: Fparallel = mg sinθ, 수직항력 N = mg cosθ, 마찰 f = μN, 가속도 a = g(sinθ − μ cosθ).
고전 역학이란?
고전 역학은 원자보다 훨씬 무겁고, 빛보다 훨씬 느리고, 일상적(비양자, 비상대론) 상호작용만 겪는 물체의 운동과 힘의 물리입니다. 세 양이 이 영역의 모든 것을 나릅니다. 위치(어디에), 속도(얼마나 빠르게, 어느 방향으로), 힘(무엇이 미는가). 미적분이 그 셋에서 가속도, 운동량, 에너지, 일, 일률을 세웁니다. 여섯 계산기가 실무 도구상을 커버합니다. 포물선 운동(일정 중력 아래 포물선 비행), 자유낙하(정지에서 수직 낙하), 경사면(중력을 평행·수직 성분과 마찰로 갈라놓기), 뉴턴 제2법칙(힘, 질량, 가속도, 무게), 운동량과 충격량(운동의 변화율), 일, 에너지, 일률(보존되는 장부).
네 보존량이 무거운 짐을 짊어집니다: 외력이 작용하지 않을 때 운동량(p = mv); 보존력만 작용할 때 역학적 에너지(KE + PE); 외부 토크가 없을 때 각운동량; 보통(비핵) 상호작용에서 질량. 함께 거의 모든 교과서 문제를 풉니다.
포물선 운동 — 포물선 비행
초기 속도 v0로 수평면 위 θ 각도로 무엇이든 발사하고 공기 저항이 무시할 만하면 궤적은 포물선이 됩니다. 수평과 수직 운동은 독립입니다. x(t) = v0 cosθ · t(일정 수평 속도)와 y(t) = v0 sinθ · t − ½g t²(등가속 수직 낙하). 세 요약 결과가 그 운동학에서 따라 나옵니다. 사거리 R = v0² sin(2θ) / g, 최대 높이 H = v0² sin²(θ) / (2g), 비행 시간 T = 2v0 sinθ / g(지면 발사 기준). 기본 샘플(v0 = 20 m/s, θ = 45°, 지구 g = 9.81 m/s²)은 vx = vy = 14.142 m/s, R = 40.775m, H = 10.194m, T = 2.883초를 줍니다. 45°가 수평 지면에서 주어진 속도의 최대 사거리를 주고, 달에서 같은 발사는 중력이 여섯 배 약해 R = 246.91m에 도달합니다.
자유낙하 — 등가인 세 운동학 형태
정지에서 놓인 물체는 일정 중력 아래 세 가지 호환 관계로 떨어집니다. v = gt(시각 t의 순간 속도), h = ½g t²(시간 t 뒤 정지에서 떨어진 거리), v = √(2gh)(거리 h를 떨어진 뒤 속도). 각각은 운동학 방정식의 특수 사례이며 대입으로 서로 변환됩니다. 기본 샘플(h = 100m, 지구)은 t = 4.515초, v = 44.294 m/s, v = 159.46 km/h를 줍니다 — 안정된 X자 자세 스카이다이버의 대략 종단속도입니다. 시간에서 모드로 바꾸면 3초 낙하는 d = 44.145m와 v = 29.43 m/s(약 105.95 km/h)를 줍니다. 달에서 같은 낙하는 t = 11.11초가 걸리고 17.97 m/s에만 도달합니다 — 같은 낙하가 여섯 배 느립니다.
경사면 — 성분으로 갈라지는 중력
각도 θ의 사면 위 질량 m인 블록은 똑바로 아래로 중력 W = mg를 느끼지만, 표면을 따라 성분만 블록을 가속하고 표면 속으로 들어가는 성분은 수직항력과 상쇄됩니다. 분할은 기하입니다. Fparallel = mg sinθ, 수직항력 N = mg cosθ. 마찰은 운동을 방해하는 저항력 f = μN = μmg cosθ를 더합니다. 운동 마찰 계수 μ는 약 0.04(얼음 위 강철)부터 0.8(고무 위 고무)까지입니다. 사면 아래 방향 순힘은 Fnet = mg sinθ − μmg cosθ이고 가속도는 a = g(sinθ − μ cosθ)입니다. 기본 샘플(m = 10kg, θ = 30°, μ = 0.2, g = 9.81 m/s²)은 W = 98.1N, N = 84.957N, Fparallel = 49.05N, f = 16.991N, Fnet = 32.059N, a = 3.206 m/s²를 줍니다. 평행 성분이 마찰을 이겨 블록이 아래로 미끄러집니다. μ를 0.6으로 올리면 순힘이 음수가 됩니다 — 블록은 제자리에(밀었다면 다시 위로) 남습니다. 마찰이 이겼습니다. 마찰 블록이 처음 미끄러지는 각도는 arctan(μ), 마찰각이며 그 아래에서는 정지 마찰이 블록을 붙듭니다.
뉴턴 제2법칙 — F = m · a, 세 가지 풀기 모드
스칼라형 뉴턴 제2법칙은 F = m · a입니다. 물체에 가해진 순힘은 질량 곱하기 가속도. 기본값(질량 10kg, 가속도 5 m/s²)은 F = 50N을 줍니다. 드롭다운을 바꾸면 같은 패널이 질량(m = F / a), 가속도(a = F / m), 무게(W = m · g, 지구 중력 9.81 m/s²)도 풉니다. 70kg 사람은 지구에서 W = 686.7N, 달에서 W = 113.4N입니다 — 같은 사람, 같은 질량이지만 중력이 여섯 배 약해 무게가 여섯 배 다릅니다. 무게는 힘(뉴턴)이고 질량은 물질의 양(킬로그램)입니다.
운동량과 충격량 — 쌍둥이 보존 법칙
운동하는 물체는 속도 방향의 벡터인 운동량 p = mv를 지닙니다. 물체의 운동량을 바꾸려면 가해진 힘 곱하기 가해진 시간과 같은 충격량 J = FΔt = Δp가 필요합니다. 기본 샘플(m = 2kg, v = 15 m/s, F = 50N, t = 0.5초)은 p = 30 kg·m/s, KE = 225J, J = 25 N·s, Δv = 12.5 m/s, 그리고 충격량이 운동 방향으로 가해졌다면 최종 속도 vfinal = 27.5 m/s를 줍니다. 작은 힘이 더 오래(부드러운 캐치) 또는 큰 힘이 더 짧게(딱딱한 충돌) 전달한 같은 충격량은 같은 운동량 변화를 줍니다. 외력이 없는 닫힌계에서 총 운동량은 보존됩니다. 15 m/s의 2kg 물체가 정지한 1kg 물체에 부딪히면 v1' = 5 m/s와 v2' = 20 m/s(완전 탄성) 또는 공통 속도 v = 10 m/s(완전 비탄성)로 끝납니다. 당구에서 양성자 빔까지 모든 충돌 분석의 기초가 그 장부입니다.
일, 에너지, 일률 — 보존되는 장부
힘이 물체를 거리만큼 옮기면 일 W = F · d를 합니다(내적은 축에서 벗어난 힘에도 정확합니다. d를 따르는 F 성분만 셉니다). 운동에 의해 갖는 에너지가 운동 에너지 KE = ½mv², 중력장에서의 위치에 의해 갖는 에너지가 위치 에너지 PE = mgh입니다. 총 역학적 에너지 E = ½mv² + mgh는 중력만 작용할 때(마찰 없음, 외력 없음) 보존됩니다 — 진자가 매주기 같은 높이까지 흔들리는 이유, 위로 던진 공이 내려올 때 발사 속도로 돌아오는 이유입니다. 일률 P = W / t는 일이 이루어지는 속도를 잽니다. 기본 샘플(m = 5kg, v = 10 m/s, h = 20m, g = 9.81, F = 50N, d = 4m, t = 2초)은 KE = 250J, PE = 981J, 총 역학적 에너지 = 1231J, W = 200J, P = 100W, P = 0.1341마력을 줍니다.
흔한 오해
무거운 물체가 가벼운 것보다 빨리 떨어진다. 진공에서는 반대가 참입니다. 모든 물체가 질량과 무관하게 같은 g로 가속됩니다. 공기 저항은 단면적에 비례하고 무게가 아니므로 동률을 깹니다 — 지구에서 함께 떨어진 깃털과 망치는 다른 시각에 닿지만, 달(공기 없음)에서는 함께 닿으며 아폴로 15호에서 실연되었습니다.
힘과 속도는 같은 것이다. 힘이 가속을 일으킵니다(F = ma). 속도는 지속된 힘의 결과입니다. 시동 꺼진 차는 바퀴에 힘이 있지만 속도가 0이고, 하키 퍽은 마찰 없는 얼음 위를 일정 속도로 미끄러지며 순힘이 0입니다.
운동량과 운동 에너지는 같다. 둘 다 정지에서 사라지지만 스케일이 다릅니다. 속도를 두 배로 하면 운동량은 두 배(p = mv), 운동 에너지는 네 배(KE = ½mv²)가 됩니다. 60mph의 2톤 트럭은 120mph의 1톤 승용차와 운동량이 같지만 운동 에너지는 두 배입니다.
"g"는 힘이다. g는 중력에 의한 가속도(m/s²)입니다. 중력이 물체에 가하는 힘은 W = mg입니다. 1kg 질량은 지구에서 9.81N의 무게를 지니고, 달에서는 g가 여섯 배 작아 1.62N입니다.
