파동과 진동이란?
진동과 파동은 같은 이면 물리가 다른 의상을 입은 것입니다. 진동은 평형 위치를 중심으로 앞뒤로 움직이는 것 전부입니다 — 스프링의 추, 진자 추, 커패시터 전압, 기타 줄의 높이, 음파 안의 압력. 파동은 전파하는 진동입니다. 같은 앞뒤 운동이지만 이제 공간의 모든 점에서 조금씩 다른 시각에 일어나, 스냅숏이 전파하는 사인곡선 무늬를 보여줍니다. 둘 다 하나의 미분 방정식, 단진동자(SHM) x''(t) = -ω²x(t)에 지배되며, 그 일반해는 사인곡선 x(t) = A cos(ωt + φ)입니다. 거기서 주기 T = 2π/ω, 진동수 f = ω/(2π), 최고 속도 vmax = Aω, 최고 가속도 amax = Aω². 이 페이지의 여섯 패널이 표준 사례를 커버합니다. 단진동 자체, 시계로서의 진자, 진행파의 파동 방정식 v = fλ, 원천이나 관측자가 움직일 때의 도플러 이동, 스프링 추의 전기 대응물인 LC 공진, 가까운 두 음이 간섭할 때의 맥빈동 주파수.
하나의 방정식, 여섯 얼굴: x(t) = A cos(ωt + φ)가 SHM 틀입니다. x에 올바른 물리 변수를(진자는 각도, LC 회로는 전하, 소리는 압력, 빛은 전기장) 넣고 그계에 맞는 ω를(진자는 √(g/L), LC 회로는 1/√(LC), 스프링 추는 √(k/m)) 넣으면 같은 사인곡선이 여기의 여섯 패널 전부를 기술합니다. 주기, 진동수, 최고 속도, 최고 가속도는 보편적입니다 — 바뀌는 것은 기호 대입뿐입니다.
단진동 — 보편적인 사인곡선
SHM은 복원력(또는 토크, 전압, 압력차)이 평형으로부터의 변위에 비례하는 모든 운동입니다. 스프링 추가 교과서 사례입니다. F = -kx가 x'' = -(k/m)x를 만들므로 ω = √(k/m)입니다. 임의 시각의 위치는 x(t) = A cos(ωt + φ), 속도 v(t) = -Aω sin(ωt + φ), 가속도 a(t) = -Aω² cos(ωt + φ). 샘플(A = 0.1m, ω = 6.28 rad/s)에서 T = 2π/ω ≈ 1.0005초, f = ω/(2π) ≈ 0.9995Hz, vmax = Aω = 0.628 m/s, amax = Aω² ≈ 3.9438 m/s². 시간 t도 입력하면 계산기가 순간의 x(t), v(t), a(t)를 보고합니다 — 90° 어긋난 세 사인곡선. SHM은 원자 격자(포논 모델), 교류 회로(전압과 전류가 ω = 2πf로 사인 진동), 평형 주위의 모든 작은 진동에 나타납니다.
단진자 — 스프링이 필요 없는 시계
중력 g 아래에서 작은 각(θ < ~15°)으로 흔들리는 길이 L의 진자는 ω = √(g/L)인 SHM 방정식을 만족합니다. 주기는 유명한 T = 2π√(L/g)이며, 갈릴레이가 처음 알아차렸듯 추의 질량과 흔들린 정도와 무관합니다. L = 1m, g = 9.81 m/s²(지구)에서 T ≈ 2.006초로, 미터의 원래 정의를 준 표준 "초 진자"입니다(반주기 = 1초). 달(g = 1.62 m/s²)에서 같은 1m 진자는 T ≈ 4.94초, 화성(g = 3.72 m/s²)에서는 T ≈ 3.26초입니다. 약 15°를 넘는 진폭에서는 소각 근사가 흐트러지기 시작해 보정항이 들어옵니다 — 실제 꽃시계가 짧고 빠른 진자 대신 길고 느린 진자(낮은 진폭)를 쓰는 이유입니다. 추 질량은 √(g/L)에서 상쇄됩니다. 같은 끈에 단 무거운 추와 가벼운 추가 동일한 주기를 유지합니다.
파동 방정식 v = fλ — 한 줄, 세 미지수
소리, 빛, 물, 지진파를 막론하고 모든 진행파는 같은 기본 관계를 따릅니다. v = fλ — 파동 속도 = 진동수 곱하기 파장. 여기 세 모드가 나머지 둘을 주면 어느 하나든 풉니다. 샘플(f = 440Hz, λ = 0.78m)은 v = 343.2 m/s — 20°C 공기 중 읍속과 정확히 같습니다. 세 기준 속도가 크기 순서를 붙듭니다. 공기 중 소리 ~343 m/s, 물속 소리 ~1480 m/s, 진공 중 빛 c = 3×10⁸ m/s. 파동을 한 매질에서 다른 매질로 옮길 때는 굴절에 스넬 법칙(광학 페이지)을 쓰지만, 단일 균질 매질 안에서 v는 매질의 성질(소리는 밀도와 강성, 빛은 유전율과 투자율)이 정합니다.
도플러 효과 — 운동과 함께 바뀌는 음높이
도플러 효과는 원천과 관측자가 서로 상대 운동할 때 관측 진동수가 바뀌는 현상입니다. 고전 공식은 f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)이며, 분자의 윗부호는 관측자가 원천 쪽으로 움직일 때(더 높은 음높이), 분모의 아랫부호는 원천이 관측자 쪽으로 움직일 때(역시 더 높은 음높이) 취합니다. 샘플(f = 1000Hz, v = 343 m/s, 원천 정지, 관측자가 30 m/s로 원천 쪽으로): f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087.46Hz, +87.46Hz 또는 +8.75% 이동. 같은 30 m/s로 정지한 청취자 쪽으로 움직이는 원천도 같은 답을 줍니다(공식은 대칭). 고속에서는 상대론 보정이 유의미해집니다. 30 m/s 차를 재는 레이더 건의 γ 인자는 1과 5×10⁻¹⁷ 정도밖에 다르지 않아, 소리에는 고전 공식으로 충분하지만 빛에는 상대론 버전이 필요한 이유입니다.
LC 공진 — 진자의 전기 대응물
LC 회로(인덕터 L과 커패시터 C의 병렬)는 스프링 추의 전기 대응물입니다. 전하는 변위 역할, 전류는 속도 역할, 인덕턴스 L은 질량 역할, 1/C는 스프링 강성 역할. 전하는 ω = 1/√(LC)로 진동하며, 동등하게 f = 1/(2π√(LC)). 샘플(L = 100mH, C = 10 μF)은 LC = 1×10⁻⁴, √(LC) = 1×10⁻⁷이므로 f ≈ 159.15Hz, 각진동수 ω ≈ 1000 rad/s, 주기 T ≈ 6.28×10⁻⁷초. 실제 LC 회로에는 저항이 있어 진동이 감쇠합니다 — 그 감쇠율이 AM 라디오 튜너가 방송을 깨끗하게 고르기 위해 최소화하는 것입니다. 정확히 f인 구동원을 더하면 회로가 공진에 들어가 전압과 전류 진폭이 공진 밖보다 훨씬 커집니다.
맥빈동 주파수 — 두 음, 하나의 포락선
조금 다른 진동수의 두 음이 함께 울리면 공기 압력은 두 사인곡선의 합이고 — 삼각법에 의해 평균 진동수 fp = (f1 + f2)/2의 코사인이 fbeat = |f1 − f2|의 느린 포락선으로 변조된 것과 같습니다. 귀는 평균 음높이가 맥빈동 속도로 불다듬거는 것을 듣습니다. 샘플(f1 = 440Hz, f2 = 445Hz)은 fbeat = 5Hz, fp = 442.5Hz, 맥빈동 주기 0.2초 — 초당 5번의 분명히 들리는 불다듬기. 약 10Hz 아래에서는 맥빈동이 구별되는 고동으로 들리고, 약 30Hz 위에서는 거칠음이나 트레몰로로 합쳐집니다. 피아노 조율사가 이용하는 바로 그것입니다. 기준 음과 조율 중인 줄을 두드리고 맥빈동을 듣고, 맥빈동이 사라질 때까지 조입니다. 줄이 완벽히 맞으면 fbeat = 0이고 계산기는 "동일 진동수 — 맥빈동 없음"을 보고합니다.
흔한 오해
- 주기와 진동수는 같지 않다. T(주기당 초)와 f(초당 주기)는 역수입니다. T = 1/f. 0.5Hz 진동은 한 주기에 2초가 걸립니다.
- 진자 주기는 진폭에 아주 약하게 의존한다. 유한 진폭 θ0의 정확한 주기는 T = T0·(1 + θ0²/16 + πθ0⁶/…)입니다. 15°에서 0.7% 보정, 30°에서 약 1.7% — 입문 문제에서는 보통 무시됩니다.
- 도플러 이동은 원천이 움직이나 관측자가 움직이나 같다. 원천이 정지 관측자 쪽으로 가든 관측자가 정지 원천 쪽으로 같은 속도로 가든, 음높이 이동은 동일합니다(비상대론적으로).
- 공진은 최대 진폭과 같지 않다. 공진은 ωdrive = ωnatural인 조건입니다. 감쇠가 있으면 최대 진폭은 무감쇠 값보다 낮고, 감쇠가 없으면 진폭은 비선형성에 의해서만 제한되며 무한히 자랍니다.
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