Astrofysicarekenmachine

Astrofysica is het deel van de natuurkunde dat zwaartekracht en beweging gebruikt als werktaal voor alles, van een maan tot een melkweg. Zes rekenmachines in dit paneel beantwoorden de zes terugkerende vragen die u aan elk lichaam of elke baan kunt stellen: hoe snel moet ik iets gooien om het systeem te verlaten? Hoe snel om er omheen te cirkelen? Hoe lang duurt een baan? Hoe klein zou dezelfde massa moeten instorten om een zwart gat te worden? Hoeveel delta-v levert een raket per brandstoffractie? En hoe ver weg is een melkweg wiens licht roodverschuift? Al het andere — afstanden gemeten met parallaxis tegen de baanbasislijn van de Aarde van één astronomische eenheid (AU = 1,496×10¹¹ m), magnitudes als de logaritmische rangschikking van helderheid, roodverschuiving z ≈ v/c als de lage-snelheidsversie van de wet van Hubble — rust op hetzelfde Newtoniaanse en relativistische fundament.

Elk lichaam met massa M en straal R maakt een potentiële-energieput met diepte GM/R per eenheid massa. Om vanaf het oppervlak omhoog te komen is kinetische energie nodig van minstens die diepte, en dat levert de ontsnappingssnelheid op. Vul de Aarde in: M = 5,972×10²⁴ kg, R = 6,371×10⁶ m — het paneel geeft v_e ≈ 11.186 m/s (11,19 km/s, ongeveer Mach 33). Mars komt uit op ≈ 5,03 km/s, de Maan op 2,38 km/s, Jupiter op 60 km/s (waar waterstof een slechte raketbrandstof is maar de wiskunde dezelfde blijft), en de Zon op 618 km/s. Let op: de formule gaat uit van geen luchtweerstand en geen verdere voortstuwing; het echte getal voor elke raket bevat aerodynamische verliezen, zwaartekrachtverlies tijdens de klim en stuurverliezen. Het is ook de snelheid vanuit rust aan het oppervlak; een object dat al in een baan zit, heeft de kleinere Δv nodig om vanaf zijn hoogte te ontsnappen, nooit de volledige waarde aan het oppervlak. Dezelfde schaling bepaalt het gewicht aan het oppervlak: op Mars (g = 3,71 m/s²) weegt een astronaut van 70 kg 260 N — de massa blijft gelijk, het gewicht volgt de plaatselijke zwaartekracht.

Een stabiele cirkelbaan balanceert de middelpuntzoekende versnelling tegen de zwaartekracht: v_o = √(GM/r). De standaard Aarde-voorinstelling van het paneel bij r = 7×10⁶ m (ongeveer 629 km hoogte — ISS-gebied) geeft v_o ≈ 7.546 m/s en een omlooptijd van 5.829 s (~1,62 uur). Het echte ISS zit op ongeveer 408 km en draait in ~92,7 minuten; de hoogte van het paneel is een illustratief getal, geen vluchtschema. De relatie levert ook ontsnapping op — vermenigvuldig v_o met √2 om v_e op dezelfde hoogte te krijgen. De baansnelheid is onafhankelijk van de massa die rond gaat; een veer en een slagschip in dezelfde baan bewegen even snel (in vacuüm), en daarom behandelt de baanmechanica satellieten als puntdeeltjes.

T² = (4π²/GM) · a³ koppelt de omlooptijd aan de halve lange as. De standaard Zon-Aarde-voorinstelling van het paneel (M = 1,989×10³⁰ kg, a = 1,496×10¹¹ m = 1 AU per definitie) geeft T ≈ 365,21 dagen, precies de lengte van ons jaar. Andersom oplossen — een omlooptijd in seconden gegeven, a berekenen — is hoe astronomen de halve lange as meten van elke satelliet waarvan ze de omlooptijd kunnen tijdmeten. Dezelfde basislijn van 1 AU is ook de definitie van de parsec: een ster die 1 boogseconde parallaxisverschuiving tegen de achtergrond vertoont terwijl de Aarde 2 AU doorloopt, staat precies 1 parsec = 3,26 lichtjaar weg — en 1 parsec = 206.265 AU. Kilometers en lichtjaren worden op interstellaire schaal onhanteerbaar; parsecs en AU zijn de werkeenheden.

Als u massa M samenperst tot onder zijn Schwarzschildstraal R_s = 2GM/c², kan er geen signaal van binnenuit naar buiten ontsnappen: dat is de horizon van een niet-roterend zwart gat. De getallen zijn voor gewone massa's verrassend klein: de R_s van de Aarde is ongeveer 8,87 mm — kleiner dan een knikker; die van de Zon is ongeveer 2,95 km. Om een van beide in te laten storten, zijn dichtheden nodig die geen bekende toestand van materie levert. Echte zwarte gaten ontstaan bij het sterven van sterren, waarbij 14,76 km voor een overblijfsel van 5 M_⊙ (de voorinstelling "klein zwart gat" van het paneel) de juiste orde van grootte is voor objecten zoals Cygnus X-1, terwijl een superzwaar zwart gat van 4×10⁶ M_⊙, zoals Sagittarius A* in het galactisch centrum, een R_s ≈ 1,18×10¹⁰ m heeft (ongeveer 17% van de baan van Mercurius). De Schwarzschildstraal is een coördinaatvoorspelling van de algemene relativiteitstheorie; de werkelijke horizon van een roterend (Kerr-)zwart gat verschilt en kan kleiner zijn.

Behoud van impuls voor een raket die uitlaatgas naar achteren uitstoot met snelheid v_e bij massaverhouding m₀/m_f levert Δv = v_e · ln(m₀/m_f) op. Het laadbare voorbeeld van het paneel (v_e = 3000 m/s, m₀ = 500.000 kg, m_f = 50.000 kg) geeft Δv ≈ 6.907,76 m/s voor een massaverhouding van 10 en een brandstoffractie van 90%. De vergelijking is meedogenloos logaritmisch: het verdubbelen van de brandstof voegt v_e·ln(2) aan Δv toe, en verdubbelt het nooit. Een baan om de Aarde heeft in totaal ongeveer 9,4 km/s Δv nodig; de overgangsbaan naar een geostationaire baan ongeveer 11,5 km/s; de overgang naar de Maan ongeveer 12,5 km/s — de reden dat raketten in trappen worden gebouwd, waarom bovenste trappen kleine fracties van de startmassa zijn, en waarom enkele-trapsraketten die in een baan komen hardnekkig moeilijk blijven.

Edwin Hubbles waarneming uit 1929 dat sterrenstelsels zich terugtrekken met een snelheid die evenredig is met de afstand, levert d = v/H₀ op. Met H₀ = 70 km/s/Mpc van het paneel ligt een sterrenstelsel met v = 1.000 km/s op d ≈ 14,286 Mpc ≈ 4,66×10⁷ lichtjaar. Voor nabije sterrenstelsels is de terugtrekkingssnelheid een klein deel van c, dus z ≈ v/c ≈ 3,34×10^-3; de lineaire wet van Hubble is dan een speciaal geval van kosmologische recessie in een uitdijend heelal. De relatie breekt bij hoge roodverschuiving (z > 0,1), waar het volledige kosmologische model het overneemt — daarom waarschuwt het infokader dat de formule bedoeld is voor "relatief nabije" sterrenstelsels. Dezelfde voorbehoud geldt voor het gebruik van v_e of v_o nabij de lichtsnelheid (relativistische correcties tellen). De afstandsladder van Hubble — parallaxis naar Cepheïden, naar supernova's van type Ia, naar de Hubble-stroom — is wat H₀ zelf kalibreert, en de huidige spanning in H₀ tussen lokaal en uit de CMB afgeleide waarden blijft een van de open vraagstukken van de kosmologie.

• Ontsnappingssnelheid is een lanceersnelheid vanaf de grond. Het is de snelheid vanuit rust op de gegeven straal zonder verdere voortstuwing; een raket die urenlang op lage constante stuwkracht klimt, hoeft op geen enkel moment v_e te bereiken.
• Zwarte gaten zuigen dingen naar binnen als een stofzuiger. De straal van de horizon wordt bepaald door de centrale massa, niet door het object dat "getrokken" wordt. Bij r » R_s is de zwaartekracht gewoon Newton; alleen heel dichtbij de horizon wordt ze onontkoombaar. De Zon, als het een zwart gat van dezelfde massa was, zou de baan van de Aarde helemaal niet veranderen.
• Meer brandstof betekent evenredig meer Δv. Tsiolkovski is logaritmisch: het verdubbelen van de brandstof voegt v_e·ln(2) toe, en verdubbelt de delta-v niet. Dit is het belangrijkste getal in de raketbouw.
• Parallaxis meet de grootte van sterren. Parallaxis meet afstand, met dezelfde geometrische triangulatie die landmeters gebruiken — hoe groter de basislijn, hoe verder het bereik. De basislijn van 2 AU uit de jaarlijkse baan van de Aarde maakt de parsec tot een natuurlijke eenheid.

Gerelateerde tools: Mechanica voor de onderliggende kinematica, Moderne natuurkunde voor relativistische effecten bij hoge snelheid, en Rekenmachine voor de algebraïsche machinerie die de formules hierboven uitvoert.