Rekenmachine rotatie & koppel

Rotatie is de kinematica en dynamica van dingen die draaien — wielen, tandwielen, planeten, moleculen, orkanen. De boekhouding loopt bijna regel voor regel parallel aan de lineaire versie: lineaire verplaatsing wordt hoekverplaatsing θ (radialen), lineaire snelheid wordt hoeksnelheid ω (rad/s), lineaire versnelling wordt hoekversnelling α (rad/s²), massa wordt traagheidsmoment I (kg·m²), en kracht wordt koppel τ (N·m). De tweede wet van Newton krijgt zijn rotatievorm τ = I·α, en het impulsmoment L = I·ω blijft behouden zonder extern koppel, precies zoals lineair impuls behouden blijft zonder externe kracht. De zes rekenmachines op dit paneel dekken de werkformules: middelpuntzoekende kracht voor cirkelbeweging, omrekening van hoeksnelheidseenheden, koppel, traagheidsmoment voor gangbare vormen, impulsmoment met rotatie-kinetische energie, en de centrifugale pseudokracht in roterende stelsels.

Elk voorwerp dat in een cirkel beweegt, verandert van richting, en dat is versnelling, en die vereist kracht — naar het middelpunt gericht. De grootte is F = mv²/r = mω²r. Het standaardvoorbeeld (m = 1 kg, v = 10 m/s, r = 2 m) geeft F = 50 N en een middelpuntzoekende versnelling van 50 m/s² (≈ 5 g), met een hoeksnelheid van 5 rad/s (≈ 47,75 tpm). De kracht is echt — bij een bal aan een touw is het de spanning in het touw; bij een auto in een bocht is het de wrijving tussen banden en weg; bij een rondcirkelende satelliet is het de zwaartekracht. Haal de kracht weg (het touw breekt, de banden verliezen grip) en het voorwerp vliegt tangentieel weg, niet radiaal naar buiten: die naar-buiten-duw die u in een bochtende auto voelt, is de centrifugale pseudokracht in het roterende stelsel, niet de middelpuntzoekende kracht in het inertiaalstelsel.

Hetzelfde draaiende voorwerp kan worden beschreven in omwentelingen per minuut (tpm), in radialen per seconde (rad/s, de SI-eenheid), in omwentelingen per seconde (Hz), of in graden per seconde. Het standaardvoorbeeld (1200 tpm) wordt ω ≈ 125,66 rad/s, 7.200 graden/s of 20 Hz, met een periode van 0,05 s per omwenteling. De relaties: ω = 2πf = 2π n/60 waarbij n de tpm is; de factor 2π zet omwentelingen om in radialen, en 60 zet minuten om in seconden. Deze eenheidsomrekeningen zijn voor leerboekwerk minder belangrijk dan voor motoren, waar tpm de meterstand is en het koppel (in N·m) de nuttige uitvoer.

Koppel is de rotatie-analoog van kracht: τ = r·F·sinθ, waarbij r de lengte van de hefboomarm is, F de uitgeoefende kracht, en θ de hoek ertussen. Het standaardvoorbeeld (F = 50 N, r = 0,3 m, θ = 90°) geeft τ = 15 N·m. De factor sinθ betekent dat de kracht het meest effectief is bij 90° (loodrecht op de hefboom); rechtstreeks langs de hefboom duwen (θ = 0 of 180°) levert nul koppel, hoe hard u ook duwt. Daarom draait een moersleutel een bout het makkelijkst wanneer u loodrecht op het handvat duwt, en geeft een langer handvat meer koppel bij dezelfde uitgeoefende kracht — wat ook verklaart waarom moersleutels, deurknoppen en stuurwielen groter zijn dan de assen die ze draaien.

Het traagheidsmoment is de rotatie-analoog van de massa, en het hangt af van hoe de massa rond de as verdeeld is. Voor een massieve bol met massa m en straal R is I = (2/5)mR²; voor een massieve schijf of cilinder om zijn middelpuntsas is I = (1/2)mR²; voor een dunne ring of hoepel is I = mR²; voor een homogene staaf om zijn midden is I = (1/12)mL². Het standaardvoorbeeld (massieve bol, m = 2 kg, R = 1 m) geeft I = 0,8 kg·m². Het praktische gevolg is dat een hoepel moeilijker te laten draaien is dan een schijf van dezelfde massa en straal (alle massa zit aan de rand), en een holle bol moeilijker dan een massieve. Hoe verder de massa van de as ligt, hoe groter I — daarom versnelt een kunstschaatser die haar armen intrekt: I neemt af, ω neemt toe, en L = Iω blijft constant.

Impulsmoment is L = Iω, in kg·m²/s; de rotatie-kinetische energie is KE = ½Iω². Het standaardvoorbeeld (I = 5 kg·m², ω = 10 rad/s) geeft L = 50 kg·m²/s en KE = 250 J. De behoudswet is dezelfde als voor lineair impuls: zonder extern koppel blijft L constant. Een draaiende tol blijft draaien zolang de wrijving (een extern koppel) klein blijft; een vrij rondcirkelende planeet behoudt het impulsmoment door in gelijke tijden gelijke oppervlakten te doorlopen (de tweede wet van Kepler). De gecombineerde uitspraak verklaart waarom gyroscopen zich verzetten tegen kantelen: het veranderen van de richting van L vereist een koppel, en een snel draaiende gyro heeft zoveel L dat kleine koppels hem nauwelijks laten afbuigen.

Binnen een roterend stelsel voelt een voorwerp in rust een fictieve naar buiten gerichte kracht gelijk aan de middelpuntzoekende kracht die het nodig zou hebben om op de cirkel te blijven. De grootte is F = mω²r, identiek aan de formule van de middelpuntzoekende kracht. Het standaardvoorbeeld (m = 0,1 kg, ω = 100 rad/s, r = 0,15 m) geeft F = 150 N naar buiten, een tangentiële snelheid van 15 m/s en een g-kracht van ongeveer 152,91 g. De pseudokracht bestaat niet in een inertiaal (niet-roterend) stelsel, waar de naar binnen gerichte kracht van het touw of de wand de middelpuntzoekende kracht is en er helemaal geen naar-buiten-duw is. Centrifugaalkracht is wat ervoor zorgt dat water in de emmer blijft tijdens een verticale zwaai, wat kleren in een wasmachine droogdraait, wat bloedbestanddelen in een centrifuge scheidt, en wat passagiers tegen de buitenwand van een roterend ontwerp van een ruimtestation houdt. De twee krachten zijn per definitie even groot en tegengesteld gericht.

• Centrifugale kracht is een echte kracht die u naar buiten duwt. Het is een fictieve kracht die alleen in een roterend (niet-inertiaal) stelsel verschijnt. In een inertiaalstelsel is de enige kracht de naar binnen gerichte middelpuntzoekende kracht — wat u als "naar buiten" voelt, is uw traagheid die zich verzet tegen de naar binnen gerichte trek.
• Impulsmoment houdt een tol eeuwig draaiend. Impulsmoment blijft alleen behouden zonder extern koppel. Een tol vertraagt omdat wrijving aan de punt een extern koppel is; een wrijvingsloos lager (een hard vacuüm, een supergeleider) kan een wiel dagenlang laten draaien, maar nooit eeuwig.
• Zwaardere voorwerpen hebben grotere traagheidsmomenten. Zwaardere voorwerpen van dezelfde vorm wel; maar een hol ringetje en een massieve schijf van dezelfde massa kunnen heel verschillende momenten hebben, omdat het om de verdeling gaat en niet alleen om de totale massa.
• Een voorwerp in cirkelbeweging heeft geen netto kracht. Het heeft nul netto kracht als het met constante snelheid in een rechte lijn beweegt. Een cirkelvormig pad is constante versnelling naar het middelpunt, wat een constante naar binnen gerichte kracht vereist. Haal de kracht weg en het voorwerp verlaat de cirkel.

Gerelateerde tools: Mechanica voor de lineaire dynamica eronder, Vloeistoffen voor wervels en roterende stroming, en Moderne natuurkunde voor het kwantum-impulsmoment dat in atomen voorkomt.