Rekenmachine golven & trillingen

Trillingen en golven zijn dezelfde onderliggende natuurkunde in verschillende kostuums. Een trilling is alles wat heen en weer beweegt rond een evenwichtspositie — een massa aan een veer, een slingergewicht, een spanning over een condensator, de hoogte van een gitaarsnaar, de druk binnen een geluidsgolf. Een golf is een trilling die zich voortplant: dezelfde heen-en-weer beweging, maar nu op een iets ander tijdstip op elk punt in de ruimte, zodat een momentopname een sinusvormig patroon laat zien dat zich voortplant. Beide worden beheerst door één differentiaalvergelijking, de harmonische oscillator (SHM) x''(t) = -ω²x(t), waarvan de algemene oplossing de sinusoïde x(t) = A cos(ωt + φ) is. Daaruit volgen periode T = 2π/ω, frequentie f = ω/(2π), piekssnelheid v_max = Aω, piekversnelling a_max = Aω². Zes panelen op deze pagina dekken de klassieke gevallen: SHM zelf, de slinger als klok, de golfvergelijking v = fλ voor lopende golven, de Doppler-verschuiving wanneer bron of waarnemer beweegt, LC-resonantie als elektrische analogie van een massa aan een veer, en zwevingsfrequentie wanneer twee dichte tonen interfereren.

SHM is elke beweging waarbij de herstellende kracht (of het koppel, of de spanning, of het drukverschil) evenredig is met de uitwijking uit het evenwicht. De massa aan een veer is het leerboekgeval: F = -kx geeft x'' = -(k/m)x, dus ω = √(k/m). De positie op elk moment is x(t) = A cos(ωt + φ), de snelheid v(t) = -Aω sin(ωt + φ), de versnelling a(t) = -Aω² cos(ωt + φ). Met het voorbeeld (A = 0,1 m, ω = 6,28 rad/s) geldt T = 2π/ω ≈ 1,0005 s, f = ω/(2π) ≈ 0,9995 Hz, v_max = Aω = 0,628 m/s, a_max = Aω² ≈ 3,9438 m/s². Als u ook een tijd t invoert, meldt de rekenmachine de momentane x(t), v(t), a(t) — drie sinusoïden die 90° uit fase lopen. SHM komt voor in atomaire roosters (waar het fononen modelleert), in wisselstroomcircuits (waar spanning en stroom sinusvormig trillen met ω = 2πf), en in elke kleine trilling rond een evenwicht.

Een slinger met lengte L die onder zwaartekracht g onder kleine hoeken (θ < ~15°) zwaait, voldoet aan de SHM-vergelijking met ω = √(g/L). De periode is de beroemde T = 2π√(L/g), waarvan Galilei als eerste opmerkte dat hij onafhankelijk is van de massa van het gewicht en van hoe ver u hem laat zwaaien. Met L = 1 m en g = 9,81 m/s² (Aarde) is T ≈ 2,006 s, de klassieke "secondeslinger" die de meter zijn oorspronkelijke definitie gaf (halve periode = 1 s). Op de Maan, met g = 1,62 m/s², duurt dezelfde slinger van 1 m T ≈ 4,94 s; op Mars (g = 3,72 m/s²) T ≈ 3,26 s. Boven ongeveer 15° amplitude begint de kleine-hoekbenadering af te wijken en komt er een correctieterm bij, daarom gebruikt een echte staande klok een lange, trage slinger (lage amplitude) in plaats van een korte, snelle. De massa van het gewicht valt weg in √(g/L): zware en lichte gewichten aan dezelfde draad houden identieke periodes.

Elke lopende golf, of het nu geluid, licht, water of seismisch is, gehoorzaamt aan dezelfde fundamentele relatie: v = fλ — golfsnelheid is gelijk aan frequentie maal golflengte. Drie modi hier lossen elke onbekende op gegeven de andere twee. Het voorbeeld (f = 440 Hz, λ = 0,78 m) geeft v = 343,2 m/s — precies de geluidssnelheid in lucht bij 20°C. Drie referentiesnelheden verankeren de orden van grootte: geluid in lucht ~343 m/s, geluid in water ~1480 m/s, licht in vacuüm c = 3×10⁸ m/s. Om een golf van het ene medium naar het andere over te brengen gebruikt u de wet van Snell (behandeld op de optica-pagina) voor breking, maar binnen één homogeen medium wordt v bepaald door de eigenschappen van het medium (dichtheid en stijfheid voor geluid, permittiviteit en permeabiliteit voor licht).

Het Doppler-effect is de verandering van de waargenomen frequentie wanneer bron en waarnemer ten opzichte van elkaar bewegen. De klassieke formule is f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s), waarbij het bovenste teken in de teller geldt wanneer de waarnemer naar de bron toe beweegt (hoort een hogere toon) en het onderste teken in de noemer wanneer de bron naar de waarnemer toe beweegt (hoort nog steeds een hogere toon). Voorbeeld (f = 1000 Hz, v = 343 m/s, bron stilstaand, waarnemer beweegt naar de bron met 30 m/s): f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087,46 Hz, een verschuiving van +87,46 Hz of +8,75%. Dezelfde bron die met 30 m/s naar een stilstaande luisteraar beweegt, geeft hetzelfde antwoord (de formule is symmetrisch). Bij hoge snelheden wordt de relativistische correctie belangrijk; voor een radarpistool dat een auto van 30 m/s meet, wijkt de factor γ slechts ~5×10⁻¹⁷ van 1 af, daarom volstaat de klassieke formule voor geluid, maar voor licht is de relativistische versie nodig.

Een LC-kring (spoel L parallel aan condensator C) is de elektrische analogie van de massa aan een veer: lading speelt de rol van uitwijking, stroom de rol van snelheid, inductantie L de rol van massa en 1/C de rol van veerstijfheid. De lading trilt met ω = 1/√(LC), equivalent f = 1/(2π√(LC)). Het voorbeeld (L = 100 mH, C = 10 μF) geeft LC = 1×10⁻⁶, √(LC) = 1×10⁻³, dus f ≈ 159,15 Hz met hoekfrequentie ω ≈ 1000 rad/s en periode T ≈ 6,28×10⁻³ s. Echte LC-kringen hebben ook weerstand, die de trilling doet vervallen — die vervalsnelheid is wat een AM-radioafstemming minimaliseert om een zender zuiver te kiezen. Een aangedreven bron precies op f dwingt de kring in resonantie, met spannings- en stroomamplituden die veel groter zijn dan buiten resonantie.

Wanneer twee tonen met iets verschillende frequenties samen klinken, is de luchtdruk de som van twee sinusoïden — wat met goniometrie gelijk is aan een cosinus op de gemiddelde frequentie f_p = (f₁ + f₂)/2, gemoduleerd door een langzame omhullende op f_zweving = |f₁ − f₂|. Het oor hoort de gemiddelde toonhoogte aan- en afzwellen met de zwevingsfrequentie. Het voorbeeld (f₁ = 440 Hz, f₂ = 445 Hz) geeft f_zweving = 5 Hz, f_p = 442,5 Hz, zwevingsperiode = 0,2 s — een duidelijk hoorbaar pulseren 5 keer per seconde. Onder ~10 Hz worden de zweving als afzonderlijke pulsen gehoord; boven ~30 Hz vloeien ze samen tot ruwheid of tremolo. Pianostemmers maken hiervan gebruik: ze slaan een referentietoon en de snaar die wordt afgesteld aan, luisteren naar de zweving en draaien bij tot de zweving verdwijnt. Zodra de snaren perfect gestemd zijn, is f_zweving = 0 en meldt de rekenmachine "Identieke frequenties — geen zweving".

• Periode en frequentie zijn niet hetzelfde. T (seconden per cyclus) en f (cycli per seconde) zijn elkaars reciproke. T = 1/f. Een trilling van 0,5 Hz doet er 2 seconden over om één cyclus te voltooien.
• De slingerperiode hangt maar zwak af van de amplitude. De exacte periode voor eindige amplitude θ₀ is T = T₀·(1 + θ₀²/16 + πθ₀⁶/…). Voor 15° is dit een correctie van 0,7%, voor 30° ongeveer 1,7% — meestal genegeerd in inleidende opgaven.
• De Doppler-verschuiving is hetzelfde of de bron of de waarnemer beweegt. Of de bron naar een stilstaande waarnemer beweegt of de waarnemer naar een stilstaande bron met dezelfde snelheid, de toonhoogteverschuiving is identiek (niet-relativistisch).
• Resonantie is niet hetzelfde als maximale amplitude. Resonantie is de voorwaarde ω_aandrijving = ω_eigen. Met demping ligt de piekamplitude onder de ongedempte waarde; zonder demping groeit de amplitude zonder grens (alleen beperkt door niet-lineariteit).

Gerelateerde tools: Moderne natuurkunde voor de golven van De Broglie en de golf-deeltjesdualiteit, Elektriciteit & circuits voor de wisselstroomanalyse waar LC-resonantie zich bevindt, en Optica & licht voor elektromagnetische golven.