Elke meting is een getal met een eerlijke begeleider: hoe zeker kunnen we zijn? Die begeleider heeft twee delen — een toevallige fout, die door het herhalen van de meting uitmiddelt, en een systematische fout, een bias die blijft bestaan hoeveel keer u ook meet. De eerlijke rapportage van elke grootheid is daarom x ± u(x), waarbij u een goed gedefinieerde onzekerheid is; het symbool ± is een verkorte schrijfwijze voor "ongeveer dit bereik met zoveel waarschijnlijkheid". De vier rekenmachines op dit paneel dekken de werkgereedschappen: het tellen van significante cijfers (de boekhoudkundige snelkoppeling), het voortplanten van onzekerheden door sommen, verschillen, producten, quotiënten en machten (de calculus van fouten), standaarddeviatie (hoe verspreid de gegevens zijn), en de GUM-achtige gecombineerde onzekerheid van meerdere onafhankelijke componenten.
Twee soorten fout, twee tegengestelde gedragingen: toevallige fout krimpt met de wortel uit N (σ/√N), dus middelen wint altijd; systematische fout krimpt helemaal niet, en daarom is kalibratie belangrijker dan herhaling. Een meting kan een kleine σ hebben en toch fout zijn door bias.
Significante cijfers — de boekhoudkundige snelkoppeling
Een significant cijfer is een cijfer dat met zekerheid bekend is; nullen die een getal opvullen tot een conventionele grootte, zijn dat niet. Vijf regels: (1) alle niet-nulcijfers zijn significant, (2) nullen tussen niet-nullen zijn significant, (3) voorloopnullen zijn niet significant (ze plaatsen alleen de komma), (4) achterloopnullen na een komma zijn significant, (5) achterloopnullen zonder komma zijn dubbelzinnig (gebruik wetenschappelijke notatie). De standaardwaarde 0,0070800 heeft daarom 5 significante cijfers (7, 0, 8, 0, 0) en wordt gelezen als (7,0800 ± 0,00005)×10−3. Het rapporteren van 0,0070800 impliceert dezelfde precisie als het rapporteren van 7,0800×10−3; het rapporteren van 0,00708 impliceert duizend keer minder precisie. De snelkoppeling werkt voor leerboekverslagen; voor een echte meting is de onzekerheid u het eerlijke getal, en significante cijfers zijn een handige manier om die uit te drukken zonder elke keer de ± te schrijven.
Foutenvoortplanting — de calculus van fouten
Voor z = f(x, y) is de regel voor het combineren van onafhankelijke onzekerheden σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². Voor de vier werkbewerkingen komt dit neer op: optellen/aftrekken telt absolute fouten kwadratisch op σz = √(σx² + σy²); vermenigvuldigen/delen telt relatieve fouten kwadratisch op σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²); macht xn schaalt de relatieve fout met |n|: σz/z = |n|σx/x. Het standaardvoorbeeld (x = 10 ± 0,3, y = 5 ± 0,2, optellen) geeft z = 15 en σz ≈ 0,36, of 15,00 ± 0,36 (ongeveer 2,4% relatief). Overschakelen naar vermenigvuldigen met dezelfde invoer geeft z = 50 ± 2,5 (5% relatief) — dezelfde ±-waarden, een heel andere voortplantingsregel, en de relatieve onzekerheid van het product is gelijk aan de kwadratische som van de relatieve onzekerheden. Absolute onzekerheden zijn de juiste valuta voor sommen/verschillen; relatieve onzekerheden voor producten/quotiënten.
Standaarddeviatie — spreiding van de gegevens
De standaarddeviatie σ is de kwadratische gemiddelde afwijking van het gemiddelde. Er bestaan twee versies, afhankelijk van wat de gegevens voorstellen: populatie-σ = √(Σ(xi − x̄)² / n) beschrijft de spreiding van elk lid van een bekende verzameling; steekproef s = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) schat de spreiding van de grotere populatie waaruit de steekproef is getrokken. Het standaardvoorbeeld (10 waarden van 12,2 tot 12,8 met gemiddelde 12,5) geeft populatie-σ ≈ 0,1732, steekproef s ≈ 0,1826 en SEM = s/√N ≈ 0,0577. De onzekerheid van het gemiddelde zelf is σ/√N (of s/√N voor de steekproefversie), daarom verkleint het middelen van 25 metingen van één grootheid de onzekerheid met een factor 5 ten opzichte van één meting. Standaarddeviatie voedt ook betrouwbaarheidsintervallen: voor een normale verdeling bevat ±1σ 68,3%, ±2σ 95,5%, ±3σ 99,7%.
Uitgebreide onzekerheid — alle bronnen combineren
Wanneer een meting meerdere onafhankelijke foutbronnen heeft (instrumentresolutie, kalibratie, herhaalbaarheid, temperatuurdrift, effect van de operator), is de GUM-achtige gecombineerde onzekerheid uc = √(Σui²). Bronnen worden geclassificeerd als type A (statistisch, uit gegevens) en type B (al het andere, met onzekerheden geschat door oordeel of fabrikantspecificatie); beide gaan op dezelfde manier in uc. Een dekkingsfactor k schaalt het interval dan naar een gekozen betrouwbaarheid: k = 1 voor 68,3%, k = 2 voor 95,5%, k = 2,58 voor 99,0%, k = 3 voor 99,7%. Het standaardvoorbeeld (bronnen van 0,15, 0,08, 0,05, 0,03 mm, k = 2) geeft uc ≈ 0,1797 mm en U = k·uc ≈ 0,3595 mm bij 95,5%. De gerapporteerde waarde wordt dan (meetwaarde ± 0,36) mm met die betrouwbaarheid. De GUM (ISO/IEC Guide 98-3) is de internationale norm voor de procedure. Type A-componenten komen uit statistiek van herhaalde aflezingen, type B uit instrumentspecificaties en oordeel — beide combineren via dezelfde kwadratische som.
Veelvoorkomende misverstanden
- Meer significante cijfers betekent een nauwkeurigere meting. Alleen als die cijfers werkelijk uit de meting kwamen. Een lengte van "12,34567 m" die met de hand is geschreven, is niet 1 deel op 10 miljoen nauwkeurig — significante cijfers zijn een manier om precisie te communiceren, geen manier om die uit te vinden. Rapporteren met ± is eerlijker dan opvullen met verzonnen cijfers.
- Systematische fout kan door middelen worden verminderd. Het omgekeerde: toevallige fouten middelen weg als 1/√N, maar een systematische bias (een verkeerd gekalibreerde weegschaal, een niet-centraal nulpunt) blijft staan, hoeveel metingen u ook doet. Identificeer bias en middel die niet weg. Dit is de valkuil van "de gegevens zijn zo reproduceerbaar!" bij een kapot experiment.
- Standaarddeviatie zegt iets over de fout van één meting. Hij karakteriseert de spreiding van de verdeling, niet de fout van een afzonderlijk experiment. De standaardfout van het gemiddelde (s/√N) is de relevante grootheid wanneer u rapporteert hoe goed u x̄ kent uit een steekproef van N.
- Onzekerheid is altijd ± in het laatste cijfer. De standaardconventie is "rond de onzekerheid af op één (soms twee) significante cijfers, en rond daarna de waarde af om erbij te passen". Een meting van 12,345678 ± 0,234 moet worden gerapporteerd als 12,35 ± 0,23, niet als 12,345678 ± 0,234.
Gerelateerde tools: Statistiek voor de onderliggende kansverdelingen, Mechanica voor de experimentele opstellingen die de getallen opleveren, en Rekenmachine voor de algebra van de voortplanting.
