Kalkulator astrofizyczny

Astrofizyka to dział fizyki, który używa grawitacji i ruchu jako języka opisu wszystkiego, od księżyca po galaktykę. Sześć kalkulatorów w tym panelu odpowiada na sześć powtarzających się pytań, które można zadać o dowolne ciało lub trajektorię: z jaką prędkością trzeba rzucić coś, by opuścić układ? Jaka prędkość wystarczy, by krążyć wokół niego? Ile trwa jeden obieg? Jak małe musiałaby się zapaść ta sama masa, by stać się czarną dziurą? Ile delta-v zyskuje rakieta na ułamek paliwa? I jak daleko jest galaktyka, której światło ulega przesunięciu ku czerwieni? Cała reszta — odległości mierzone paralaksą względem bazy orbitalnej Ziemi wynoszącej jedną jednostkę astronomiczną (AU = 1,496×10¹¹ m), wielkości gwiazdowe jako logarytmiczne uszeregowanie jasności, przesunięcie ku czerwieni z ≈ v/c jako wersja prawa Hubble'a dla małych prędkości — opiera się na tym samym newtonowskim i relatywistycznym rusztowaniu.

Każde ciało o masie M i promieniu R tworzy studnię energii potencjalnej o głębokości GM/R na jednostkę masy. Aby wydostać się z powierzchni, potrzeba energii kinetycznej co najmniej równej tej głębokości, co daje prędkość ucieczki. Podstawmy Ziemię: M = 5,972×10²⁴ kg, R = 6,371×10⁶ m — panel zwraca v_e ≈ 11 186 m/s (11,19 km/s, około Mach 33). Mars wypada na ≈ 5,03 km/s, Księżyc na 2,38 km/s, Jowisz na 60 km/s (gdzie wodór jest kiepskim paliwem rakietowym, ale matematyka jest ta sama), a Słońce na 618 km/s. Uwaga: wzór zakłada brak oporu atmosferycznego i brak dalszego napędu; rzeczywista liczba dla dowolnej rakiety obejmuje straty aerodynamiczne, opór grawitacyjny podczas wznoszenia i straty na sterowanie. To także prędkość ze spoczynku na powierzchni; obiekt już znajdujący się na orbicie potrzebuje mniejszego Δv, by uciec z danej wysokości, nigdy pełnej wartości z powierzchni. Ta sama skala wyznacza ciężar na powierzchni: na Marsie (g = 3,71 m/s²) astronauta o masie 70 kg waży 260 N — masa bez zmian, ciężar zależy od lokalnej grawitacji.

Stabilna orbita kołowa równoważy przyspieszenie dośrodkowe z grawitacją: v_o = √(GM/r). Domyślne ustawienie Ziemi przy r = 7×10⁶ m (ok. 629 km wysokości — terytorium ISS) daje v_o ≈ 7 546 m/s i okres 5 829 s (~1,62 godziny). Prawdziwa ISS znajduje się na ok. 408 km i okrąża Ziemię w ok. 92,7 minuty; wysokość w panelu to liczba poglądowa, a nie rozkład lotów. Zależność daje też ucieczkę — pomnóż v_o przez √2, by otrzymać v_e na tej samej wysokości. Prędkość orbitalna nie zależy od masy krążącego obiektu; piórko i pancernik na tej samej orbicie poruszają się z tą samą prędkością (w próżni), dlatego mechanika orbitalna traktuje satelity jak punkty materialne.

T² = (4π²/GM) · a³ wiąże okres obiegu z wielką półosią orbity. Domyślne ustawienie Słońce-Ziemia (M = 1,989×10³⁰ kg, a = 1,496×10¹¹ m = 1 AU z definicji) daje T ≈ 365,21 dnia — dokładnie długość naszego roku. Rozwiązanie w drugą stronę — mając okres w sekundach, obliczyć a — to sposób, w jaki astronomowie mierzą wielką półoś dowolnego satelity, którego okres mogą zmierzyć. Ta sama baza 1 AU to także definicja parseka: gwiazda wykazująca przesunięcie paralaktyczne 1 sekundy kątowej względem tła, gdy Ziemia zakreśla 2 AU, znajduje się dokładnie 1 parsek = 3,26 roku świetlnego dalej — a 1 parsek = 206 265 AU. Kilometry i lata świetlne stają się nieporęczne w skali międzygwiezdnej; w praktyce używa się parseków i AU.

Jeśli masa M zostanie ściśnięta poniżej jej promienia Schwarzschilda R_s = 2GM/c², żaden sygnał z wnętrza nie wydostanie się na zewnątrz: to horyzont nieobracającej się czarnej dziury. Liczby dla zwykłych mas są zaskakująco małe: R_s Ziemi wynosi około 8,87 mm — mniej niż kulka; Słońca — około 2,95 km. Aby któreś z nich zapaść, potrzebne byłyby gęstości, jakich żaden znany stan materii nie daje. Prawdziwe czarne dziury powstają przy śmierci gwiazd, gdzie 14,76 km dla pozostałości o masie 5 M_☉ (ustawienie "mała czarna dziura" w panelu) to właściwy rząd wielkości dla obiektów typu Cygnus X-1, natomiast supermasywna czarna dziura 4×10⁶ M_☉, jak Sagittarius A* w centrum naszej galaktyki, ma R_s ≈ 1,18×10¹⁰ m (około 17% orbity Merkurego). Promień Schwarzschilda to przewidywanie współrzędnościowe ogólnej teorii względności; rzeczywisty horyzont obracającej się czarnej dziury (Kerra) jest inny i może być mniejszy.

Zasada zachowania pędu dla rakiety wyrzucającej spaliny do tyłu z prędkością v_e przy stosunku mas m₀/m_f daje Δv = v_e · ln(m₀/m_f). Przykład w panelu (v_e = 3000 m/s, m₀ = 500 000 kg, m_f = 50 000 kg) daje Δv ≈ 6 907,76 m/s przy stosunku mas 10 i ułamku paliwa 90%. Równanie jest brutalnie logarytmiczne: podwojenie paliwa dodaje Δv równe v_e·ln(2), a nigdy go nie podwaja. Start na niską orbitę okołoziemską wymaga około 9,4 km/s Δv w sumie; transfer na orbitę geostacjonarną około 11,5 km/s; transfer na Księżyc około 12,5 km/s — dlatego rakiety są wielostopniowe, górne stopnie stanowią niewielki ułamek masy startowej i dlatego start jednostopniowy na orbitę wciąż pozostaje uporczywie trudny.

Odkrycie Edwina Hubble'a z 1929 roku, że galaktyki oddalają się z prędkością proporcjonalną do odległości, daje d = v/H₀. Przy H₀ = 70 km/s/Mpc z panelu galaktyka o v = 1 000 km/s znajduje się w odległości d ≈ 14,286 Mpc ≈ 4,66×10⁷ lat świetlnych. Dla bliskich galaktyk prędkość oddalania jest małym ułamkiem c, więc z ≈ v/c ≈ 3,34×10^-3; liniowe prawo Hubble'a jest wtedy szczególnym przypadkiem kosmologicznego oddalania w rozszerzającym się wszechświecie. Zależność załamuje się przy dużym przesunięciu ku czerwieni (z > 0,1), gdzie przejmuje pełny model kosmologiczny, dlatego w dymku informacyjnym ostrzeżono, że wzór dotyczy "stosunkowo bliskich" galaktyk — to samo zastrzeżenie dotyczy stosowania v_e lub v_o blisko prędkości światła (poprawki relatywistyczne mają znaczenie). Drabina odległości Hubble'a — paralaksa, zmienne Cefeidy, supernowe typu Ia, przepływ Hubble'a — to właśnie kalibruje samą H₀, a obecne napięcie w H₀ między wartościami lokalnymi a wywnioskowanymi z CMB pozostaje jednym z otwartych problemów kosmologii.

• Prędkość ucieczki to prędkość startu z powierzchni. To prędkość wystartowana ze spoczynku na danym promieniu bez dalszego napędu; rakieta wznosząca się przy stałym, małym ciągu przez wiele godzin nie musi osiągnąć v_e w żadnej chwili.
• Czarne dziury wciągają wszystko jak próżnia. Promień horyzontu wyznacza masa centralna, a nie obiekt, który jest "przyciągany". Przy r ≫ R_s grawitacja jest po prostu newtonowska; dopiero bardzo blisko horyzontu staje się nie do uniknięcia. Gdyby Słońce było czarną dziurą o tej samej masie, nie zmieniłoby orbity Ziemi w ogóle.
• Więcej paliwa oznacza proporcjonalnie więcej Δv. Wzór Ciołkowskiego jest logarytmiczny: podwojenie paliwa dodaje v_e·ln(2), a nie podwaja delta-v. To najważniejsza liczba w inżynierii rakietowej.
• Paralaksa mierzy rozmiary gwiazd. Paralaksa mierzy odległość, tą samą geometryczną triangulacją, której używają geodeci — im dłuższa baza, tym dalszy zasięg. Baza 2 AU z rocznej orbity Ziemi sprawia, że parsek jest naturalną jednostką.

Powiązane narzędzia: Mechanika dla leżącej u podstaw kinematyki, Fizyka współczesna dla efektów relatywistycznych przy dużych prędkościach oraz Kalkulator dla aparatu algebraicznego obsługującego wzory powyżej.