Czym jest ruch obrotowy?
Ruch obrotowy to kinematyka i dynamika rzeczy, które się kręcą — kół, przekładni, planet, cząsteczek, huraganów. Rachunek niemal wiersz w wiersz odpowiada wersji liniowej: przemieszczenie liniowe staje się przemieszczeniem kątowym θ (radiany), prędkość liniowa — prędkością kątową ω (rad/s), przyspieszenie liniowe — przyspieszeniem kątowym α (rad/s²), masa — momentem bezwładności I (kg·m²), a siła — momentem obrotowym τ (N·m). Drugie prawo Newtona przybiera postać obrotową τ = I·α, a moment pędu L = I·ω jest zachowany przy braku zewnętrznego momentu obrotowego, dokładnie tak jak pęd liniowy jest zachowany przy braku siły zewnętrznej. Sześć kalkulatorów na tym panelu obejmuje robocze wzory: siłę dośrodkową dla ruchu po okręgu, przeliczanie prędkości kątowej, moment obrotowy, moment bezwładności dla typowych kształtów, moment pędu z energią kinetyczną ruchu obrotowego oraz pozorną siłę odśrodkową w układach obracających się.
Dwie analogie do zapamiętania: pęd liniowy p = mv i moment pędu L = Iω; siła F = ma i moment obrotowy τ = Iα. Moment bezwładności I odgrywa taką samą rolę jak masa m, ale zależy od kształtu i od rozkładu masy względem osi obrotu.
Siła dośrodkowa — wewnętrzne przyciąganie, które zakrzywia tor
Każdy obiekt poruszający się po okręgu zmienia kierunek, czyli doznaje przyspieszenia, a to wymaga siły skierowanej do środka. Wielkość wynosi F = mv²/r = mω²r. Domyślny przykład (m = 1 kg, v = 10 m/s, r = 2 m) daje F = 50 N i przyspieszenie dośrodkowe 50 m/s² (≈ 5 g), przy prędkości kątowej 5 rad/s (≈ 47,75 obr./min). Siła jest rzeczywista — dla kulki na sznurku to napięcie sznurka, dla samochodu w zakręcie to tarcie między oponami a jezdnią, dla krążącego satelity to grawitacja. Gdy siła zostanie odebrana (sznurek pęka, opony tracą przyczepność), obiekt odlatuje stycznie, a nie promieniowo na zewnątrz: ten wypychający ruch, który odczuwa się w zakręcie, to pozorna siła odśrodkowa w układzie obracającym się, a nie siła dośrodkowa w układzie inercjalnym.
Prędkość kątowa — cztery jednostki, które się tu spotykają
Ten sam wirujący obiekt można opisać w obrotach na minutę (RPM), w radianach na sekundę (rad/s, jednostka SI), w obrotach na sekundę (Hz) lub w stopniach na sekundę. Domyślny przykład (1200 RPM) to ω ≈ 125,66 rad/s, 7 200 °/s lub 20 Hz, z okresem 0,05 s na obrót. Zależności: ω = 2πf = 2π n/60, gdzie n to RPM; czynnik 2π zamienia obroty na radiany, a 60 zamienia minuty na sekundy. Te przeliczenia mają mniejsze znaczenie w zadaniach podręcznikowych niż w silnikach i napędach, gdzie RPM to odczyt na wskaźniku, a moment obrotowy (w N·m) to użyteczny wynik pracy.
Moment obrotowy — dźwignia ważona kątem
Moment obrotowy to odpowiednik siły w ruchu obrotowym: τ = r·F·sinθ, gdzie r to długość ramienia dźwigni, F — przyłożona siła, a θ — kąt między nimi. Domyślny przykład (F = 50 N, r = 0,3 m, θ = 90°) daje τ = 15 N·m. Czynnik sinθ oznacza, że siła działa najskuteczniej pod kątem 90° (prostopadle do dźwigni); pchanie wzdłuż dźwigni (θ = 0 lub 180°) daje zerowy moment, bez względu na to, jak mocno się pcha. Dlatego klucz najłatwiej odkręca śrubę, gdy pcha się prostopadle do rękojeści, a dłuższa rękojeść daje większy moment przy tej samej sile — dlatego klucze, klamki i kierownice są większe niż osie, które obracają.
Moment bezwładności — masa obrotowa
Moment bezwładności to odpowiednik masy w ruchu obrotowym i zależy od tego, jak masa jest rozłożona wokół osi. Dla pełnej kuli o masie m i promieniu R I = (2/5)mR²; dla pełnego krążka lub walca względem osi środkowej I = (1/2)mR²; dla cienkiego pierścienia lub obręczy I = mR²; dla jednorodnego pręta względem środka I = (1/12)mL². Domyślny przykład (pełna kula, m = 2 kg, R = 1 m) daje I = 0,8 kg·m². Praktyczna konsekwencja: obręcz trudniej rozkręcić niż krążek o tej samej masie i promieniu (cała masa leży na obwodzie), a kula wydrążona trudniej niż pełna. Im dalej masa od osi, tym większe I — dlatego łyżwiarka przyciągająca ręce przyspiesza: I maleje, ω rośnie, a L = Iω pozostaje stałe.
Moment pędu — wielkość zachowana
Moment pędu to L = I·ω, w kg·m²/s; energia kinetyczna ruchu obrotowego to Ek = ½Iω². Domyślny przykład (I = 5 kg·m², ω = 10 rad/s) daje L = 50 kg·m²/s i Ek = 250 J. Prawo zachowania jest takie samo jak dla pędu liniowego: przy braku zewnętrznego momentu obrotowego L pozostaje stałe. Bąk kręci się tak długo, jak mała jest siła tarcia (zewnętrzny moment); swobodnie krążąca planeta zachowuje moment pędu, zakreślając równe pola w równych czasach (drugie prawo Keplera). Razem wyjaśniają, dlaczego żyroskopy opierają się przechyleniu: zmiana kierunku L wymaga momentu obrotowego, a szybko wirujący żyroskop ma tak duże L, że małe momenty ledwo go wychylają.
Siła odśrodkowa — pozorna siła w układzie obracającym się
Wewnątrz układu obracającego się nieruchomy obiekt odczuwa pozorną siłę wypychającą na zewnątrz, równą sile dośrodkowej, którą musiałby mieć, by pozostać na okręgu. Wielkość wynosi F = mω²r, identycznie jak we wzorze na siłę dośrodkową. Domyślny przykład (m = 0,1 kg, ω = 100 rad/s, r = 0,15 m) daje F = 150 N na zewnątrz, prędkość styczną 15 m/s i przeciążenie rzędu ~152,91 g. Siła pozorna nie istnieje w układzie inercjalnym (nieobracającym się), gdzie siłą dośrodkową jest siła z liny lub ściany, a żadnego wypychania na zewnątrz nie ma. Odśrodkowość sprawia, że woda zostaje w wiadrze podczas pionowego zamachu, suszy ubranie w pralce, rozdziela składniki krwi w wirówce i dociska pasażerów do zewnętrznej ściany obracającego się modelu stacji kosmicznej. Obie siły są z definicji równe co do wielkości i przeciwnie skierowane.
Typowe nieporozumienia
- Siła odśrodkowa to prawdziwa siła wypychająca na zewnątrz. To siła pozorna, pojawiająca się tylko w obracającym się (nieinercjalnym) układzie. W układzie inercjalnym jedyną siłą jest siła dośrodkowa skierowana do wewnątrz — to, co odczuwa się jako "na zewnątrz", to bezwładność stawiająca opór wewnętrznemu ciągnięciu.
- Moment pędu utrzymuje bąk w ruchu wiecznie. Moment pędu jest zachowany tylko przy braku zewnętrznego momentu obrotowego. Bąk zwalnia, bo tarcie w czubku jest zewnętrznym momentem; łożysko bez tarcia (próżnia, nadprzewodnik) może utrzymać koło w ruchu przez dni, ale nie na zawsze.
- Cięższe obiekty mają większe momenty bezwładności. Cięższe obiekty o tym samym kształcie mają; ale pierścień i pełny krążek o tej samej masie mogą mieć bardzo różne momenty, bo liczy się rozkład masy, a nie tylko masa całkowita.
- Obiekt w ruchu po okręgu nie ma siły wypadkowej. Miałby zerową siłę wypadkową, gdyby poruszał się ze stałą prędkością po linii prostej. Tor kołowy oznacza stałe przyspieszenie do środka, a to wymaga stałej siły skierowanej do wewnątrz. Odejmij tę siłę, a obiekt opuści okrąg.
Powiązane narzędzia: Mechanika dla dynamiki liniowej, która leży u podstaw, Płyny dla wirów i przepływów obrotowych oraz Fizyka współczesna dla kwantowego momentu pędu, który pojawia się w atomach.
