Kalkulator fal i drgań

Drgania i fale to ta sama podstawowa fizyka w różnych przebraniach. Drganie to wszystko, co porusza się tam i z powrotem wokół położenia równowagi — masa na sprężynie, ciężarek wahadła, napięcie na kondensatorze, wysokość struny gitarowej, ciśnienie wewnątrz fali dźwiękowej. Fala to drganie, które się przemieszcza: ten sam ruch tam i z powrotem, ale zachodzący w każdym punkcie przestrzeni w nieco innym czasie, więc migawka pokazuje rozchodzący się wzór sinusoidalny. Oba opisuje jedno równanie różniczkowe, prosty oscylator harmoniczny (SHM) x''(t) = -ω²x(t), którego rozwiązaniem ogólnym jest sinusoida x(t) = A cos(ωt + φ). Stąd okres T = 2π/ω, częstotliwość f = ω/(2π), szczytowa prędkość v_max = Aω, szczytowe przyspieszenie a_max = Aω². Sześć paneli na tej stronie obejmuje klasyczne przypadki: sam SHM, wahadło jako zegar, równanie falowe v = fλ dla fal biegnących, przesunięcie Dopplera przy ruchu źródła lub obserwatora, rezonans LC jako elektryczny analog masy na sprężynie oraz częstotliwość dudnienia przy interferencji dwóch bliskich tonów.

SHM to dowolny ruch, w którym siła przywracająca (lub moment, napięcie czy różnica ciśnień) jest proporcjonalna do wychylenia od położenia równowagi. Masa na sprężynie to klasyczny przypadek: F = -kx daje x'' = -(k/m)x, więc ω = √(k/m). Położenie w dowolnej chwili to x(t) = A cos(ωt + φ), prędkość v(t) = -Aω sin(ωt + φ), przyspieszenie a(t) = -Aω² cos(ωt + φ). Dla przykładu (A = 0,1 m, ω = 6,28 rad/s) T = 2π/ω ≈ 1,0005 s, f = ω/(2π) ≈ 0,9995 Hz, v_max = Aω = 0,628 m/s, a_max = Aω² ≈ 3,9438 m/s². Jeśli podany zostanie także czas t, kalkulator zwróci chwilowe x(t), v(t), a(t) — trzy sinusoidy przesunięte o 90° fazowo. SHM pojawia się w sieciach atomowych (gdzie opisuje fonony), w obwodach prądu przemiennego (gdzie napięcie i prąd oscylują sinusoidalnie z ω = 2πf) oraz w każdym małym drganiu wokół położenia równowagi.

Wahadło o długości L wahające się pod wpływem grawitacji g przy małych kątach (θ < ok. 15°) spełnia równanie SHM z ω = √(g/L). Okres to słynne T = 2π√(L/g), o którym Galileusz jako pierwszy zauważył, że nie zależy od masy ciężarka ani od tego, jak daleko wychyli się wahadło. Dla L = 1 m i g = 9,81 m/s² (Ziemia) T ≈ 2,006 s — klasyczne "wahadło sekundowe", które nadało metrowi jego pierwotną definicję (połowa okresu = 1 s). Na Księżycu, z g = 1,62 m/s², to samo wahadło 1 m ma T ≈ 4,94 s; na Marsie (g = 3,72 m/s²) T ≈ 3,26 s. Powyżej amplitudy ok. 15° przybliżenie małych kątów zaczyna się rozjeżdżać i wchodzi człon poprawkowy, dlatego prawdziwy zegar ścienny używa długiego, wolnego wahadła (małej amplitudy), a nie krótkiego i szybkiego. Masa ciężarka znika w √(g/L): ciężkie i lekkie ciężarki na tej samej nici mają identyczne okresy.

Każda fala biegnąca — dźwięk, światło, woda czy fala sejsmiczna — spełnia tę samą podstawową zależność: v = fλ — prędkość fali równa się częstotliwości razy długości fali. Trzy tryby tutaj rozwiązują dowolną jedną niewiadomą, mając pozostałe dwie. Przykład (f = 440 Hz, λ = 0,78 m) daje v = 343,2 m/s — dokładnie prędkość dźwięku w powietrzu w 20 °C. Trzy prędkości odniesienia wyznaczają rzędy wielkości: dźwięk w powietrzu ~343 m/s, dźwięk w wodzie ~1480 m/s, światło w próżni c = 3×10⁸ m/s. Aby przejść z jednego ośrodka do drugiego, do załamania używa się prawa Snelliusa (opisanego na stronie optyki), ale wewnątrz jednorodnego ośrodka v zależy od jego własności (gęstości i sztywności dla dźwięku, przenikalności elektrycznej i magnetycznej dla światła).

Efekt Dopplera to zmiana zaobserwowanej częstotliwości, gdy źródło i obserwator poruszają się względem siebie. Klasyczny wzór to f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s), gdzie górny znak w liczniku bierze się, gdy obserwator zbliża się do źródła (słyszy wyższy ton), a dolny znak w mianowniku, gdy źródło zbliża się do obserwatora (nadal słyszy wyższy ton). Przykład (f = 1000 Hz, v = 343 m/s, źródło nieruchome, obserwator zbliża się do źródła z prędkością 30 m/s): f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087,46 Hz, czyli przesunięcie +87,46 Hz lub +8,75%. To samo źródło o prędkości 30 m/s zbliżające się do nieruchomego słuchacza daje ten sam wynik (wzór jest symetryczny). Przy dużych prędkościach znaczącą staje się poprawka relatywistyczna; dla pistoletu radarowego mierzącego samochód jadący 30 m/s czynnik γ różni się od 1 tylko o ok. 5×10⁻¹⁷, dlatego wzór klasyczny wystarcza dla dźwięku, a światło wymaga wersji relatywistycznej.

Obwód LC (cewka L równolegle z kondensatorem C) to elektryczny analog masy na sprężynie: ładunek pełni rolę wychylenia, prąd rolę prędkości, indukcyjność L rolę masy, a 1/C rolę sztywności sprężyny. Ładunek oscyluje z częstością ω = 1/√(LC), równoważnie f = 1/(2π√(LC)). Przykład (L = 100 mH, C = 10 μF) daje LC = 1×10⁻⁶, √(LC) = 1×10⁻³, więc f ≈ 159,15 Hz z częstością kątową ω ≈ 1000 rad/s i okresem T ≈ 6,28×10⁻³ s. Rzeczywiste obwody LC mają też rezystancję, która powoduje wygasanie drgań — to właśnie tempo wygasania minimalizuje strojenie radia AM, by czysto wybrać stację. Dodanie źródła wymuszającego dokładnie o częstotliwości f wprowadza obwód w rezonans, a amplitudy napięcia i prądu są wtedy znacznie większe niż poza rezonansem.

Gdy dwa tony o nieco różnych częstotliwościach grają razem, ciśnienie powietrza jest sumą dwóch sinusoid — co z trygonometrii równa się cosinusowi o średniej częstotliwości f_p = (f₁ + f₂)/2, zmodulowanemu przez wolną obwiednię o częstotliwości f_dud = |f₁ − f₂|. Ucho słyszy średnią wysokość tonu narastającą i opadającą z częstotliwością dudnień. Przykład (f₁ = 440 Hz, f₂ = 445 Hz) daje f_dud = 5 Hz, f_p = 442,5 Hz, okres dudnień 0,2 s — wyraźnie słyszalne pulsowanie 5 razy na sekundę. Poniżej ok. 10 Hz dudnienia słyszy się jako odrębne impulsy; powyżej ok. 30 Hz zlewają się w chropowatość lub tremolo. Stroiciele fortepianów to wykorzystują: uderzają wzorcowy dźwięk i strunę strojoną, słuchają dudnień i poprawiają, aż dudnienia znikną. Gdy struny są idealnie nastrojone, f_dud = 0, a kalkulator podaje "Identyczne częstotliwości — brak dudnień".

• Okres i częstotliwość to nie to samo. T (sekundy na cykl) i f (cykle na sekundę) są odwrotnościami. T = 1/f. Drganie o częstotliwości 0,5 Hz trwa 2 sekundy na jeden cykl.
• Okres wahadła słabo zależy od amplitudy. Dokładny okres dla skończonej amplitudy θ₀ to T = T₀·(1 + θ₀²/16 + πθ₀⁶/…). Dla 15° to poprawka 0,7%, dla 30° około 1,7% — zwykle pomijana w zadaniach wprowadzających.
• Przesunięcie Dopplera jest takie samo, gdy porusza się źródło lub obserwator. Czy źródło zbliża się do nieruchomego obserwatora, czy obserwator zbliża się do nieruchomego źródła z tą samą prędkością, zmiana wysokości dźwięku jest identyczna (w ujęciu nierelatywistycznym).
• Rezonans to nie to samo co maksymalna amplituda. Rezonans to warunek ω_wymuszenie = ω_własna. Przy tłumieniu szczytowa amplituda jest mniejsza niż w przypadku bez tłumienia; bez tłumienia amplituda rośnie bez ograniczeń (ogranicza ją jedynie nieliniowość).

Powiązane narzędzia: Fizyka współczesna dla fal de Broglie'a i dualizmu falowo-korpuskularnego, Elektryczność i obwody dla analizy prądu przemiennego, w której mieści się rezonans LC, oraz Optyka i światło dla fal elektromagnetycznych.