Dwa prawa zachowania wykonują najcięższą pracę: zachowanie masy daje ciągłość (Q = A·v, A1v1 = A2v2), zachowanie energii wzdłuż linii prądu daje Bernoulliego (P + ½ρv² + ρgh = const). Cała reszta — wyporność, ciśnienie hydrostatyczne, opór — to przypadek szczególny lub konsekwencja.
Wyporność Archimedesa — wypierana waga
Każde ciało zanurzone w płynie odczuwa siłę wyporu skierowaną do góry, równą ciężarowi wypartego płynu: Fb = ρ·V·g, gdzie ρ to gęstość cieczy, V — objętość wypartą, a g — przyspieszenie grawitacyjne. Domyślny przykład (ρ = 1000 kg/m³ woda słodka, V = 0,01 m³, g = 9,81 m/s²) daje Fb ≈ 98,1 N — ciężar 10 kg wody. Dokładnie dlatego blok drewna o masie 10 kg (gęstość 700 kg/m³) unosi się w połowie zanurzony: połowa objętości wypiera połowę ciężaru. Obiekt pływa, gdy jego średnia gęstość jest mniejsza od gęstości cieczy; tonie, gdy większa; zawisa w zawiesinie, gdy jest równa. Dla gazów ta sama zależność działa z ρ ok. 1,2 kg/m³ na poziomie morza, dlatego balon z helem unosi tylko około 1 grama na litr — różnica gęstości jest niewielka.
Ciśnienie hydrostatyczne — ciężar słupa cieczy
W płynie w spoczynku ciśnienie rośnie liniowo z głębokością: P = P0 + ρg·h, gdzie P0 to ciśnienie na powierzchni (atmosferyczne, 101 325 Pa na poziomie morza). Domyślny przykład (20 m słodkiej wody) daje ciśnienie manometryczne ρgh = 196 200 Pa i całkowite ciśnienie 297 525 Pa (około 2,94 atm, 2,98 bar). Ciśnienie zależy wyłącznie od głębokości i gęstości cieczy, a nie od kształtu naczynia — to "paradoks hydrostatyczny" — bo każdy element płynu na głębokości h ma nad sobą ten sam słup ciężaru. Zasada Pascala: zmiana ciśnienia wywołana w zamkniętym płynie przenosi się bez zmniejszenia na każdą jego część, dlatego podnośniki hydrauliczne mnożą siłę: mała siła na małym tłoku wytwarza takie samo ciśnienie, jak to, które unosi duży tłok z proporcjonalnie dużą siłą.
Bernoulli — energia wzdłuż linii prądu
Dla ustalonego, nieściśliwego i nielepkiego przepływu energia na jednostkę objętości jest zachowana wzdłuż dowolnej linii prądu: P + ½ρv² + ρgh = const. Domyślny przykład zaczyna się od ciśnienia atmosferycznego, v1 = 2 m/s, h1 = 10 m, a kończy na v2 = 4 m/s, h2 = 5 m — panel zwraca P2 ≈ 144 375 Pa przy stałej ok. 201 425 Pa. Spadek wysokości dodaje ciśnienie potencjalne; wzrost prędkości zabiera ciśnienie statyczne. To zasada działania zwężki Venturiego (przewężenie w rurze przyspiesza przepływ i obniża ciśnienie), gaźnika (gardziel w kanale powietrznym obniża ciśnienie i zasysa paliwo), skrzydła samolotu (górna powierzchnia przyspiesza powietrze, obniżając jego ciśnienie i unosząc skrzydło) oraz rurki Pitota (różnica ciśnień mierzy prędkość). Bernoulli zawodzi wszędzie tam, gdzie przepływ nie jest ustalony, nieściśliwy lub nielepki — zwłaszcza przy dużych liczbach Reynoldsa, gdzie turbulencja sprawia, że ciśnienie jest zaszumione, a wzór uśrednia w czasie. Siła nośna profilu to głównie trzecia zasada Newtona — odchylanie strumienia powietrza w dół — a różnica ciśnień Bernoulliego jest tu rachunkiem, a nie przyczyną.
Natężenie przepływu — ile na sekundę
Objętościowe natężenie przepływu wynosi Q = A·v, gdzie A to pole przekroju poprzecznego, a v — średnia prędkość. Domyślny przykład (A = 0,05 m², v = 3 m/s) daje Q = 0,15 m³/s = 150 l/s, czyli 9 m³ na minutę. Przy nieściśliwym przepływie przez zmienną rurę zachowanie masy wymusza A1·v1 = A2·v2: zmniejszenie przekroju o połowę podwaja prędkość. Dlatego wąż ogrodowy z kciukiem na końcu strzela dalej, a zwężenie rzeki na progach tworzy bystrze. Reguła ciągłości działa lokalnie w każdej chwili; prędkość nie "pamięta" wcześniejszych odcinków. Przy przepływie ściśliwym (gazociągi, silniki odrzutowe) właściwym niezmiennikiem jest masowe natężenie przepływu ρA·v, które jest stałe, gdy nie dodaje się ani nie usuwa płynu.
Opór Stokesa — laminarny kraniec oporu płynu
Dla kuli o promieniu r poruszającej się z małą prędkością w płynie o lepkości μ siła oporu wynosi Fd = 6πμr·v. Domyślny przykład (μ = 0,001 Pa·s woda, r = 1 cm, v = 0,5 m/s) daje Fd ≈ 9,42×10−5 N (około 94 μN). Zależność jest liniowa w v, bo przy małej liczbie Reynoldsa ślad za kulą jest symetryczny, a lepkość dominuje; praca wykonana przez kulę przeciw oporowi zamienia się w ciepło lepkościowe płynu. Opór Stokesa działa tylko przy Re < 1 — dla kuli o średnicy 1 cm w wodzie oznacza to prędkości poniżej około 10−4 m/s. Przy większych prędkościach współczynnik oporu staje się w przybliżeniu stały, a siła rośnie jak v², a nie v. Opór Stokesa decyduje o opadaniu pyłu w powietrzu, pływaniu bakterii i opadaniu drobnego osadu w wodzie.
Liczba Reynoldsa — porządek kontra chaos
Bezwymiarowy stosunek Re = ρvL/μ porównuje siły bezwładności z siłami lepkości. Domyślny przykład (woda, v = 1 m/s, L = 0,1 m) daje Re ≈ 100 000, wyraźnie w reżimie turbulentnym. Empirycznie: Re < ~2000 oznacza przepływ laminarny (gładki, przewidywalny, równoległe linie prądu); Re > ~4000 oznacza przepływ turbulentny (chaotyczny, mieszający, z wirami); wąski przedział między nimi jest przejściowy. Przepływ krwi w aorcie (Re ~ 4000) leży na granicy; w naczyniach włosowatych (Re ~ 0,001) jest zdecydowanie laminarny i obowiązuje opór Stokesa. Powietrze nad skrzydłem samolotu jest celowo turbulentne, by opóźnić oderwanie strugi. Liczba Reynoldsa tłumaczy, dlaczego rury mają "prędkość krytyczną", powyżej której koszt pompowania gwałtownie rośnie, i dlaczego dym ze świecy unosi się przez kilka centymetrów jako gładki, laminarny pióropusz, zanim rozpadnie się na chaotyczne zawijasy.
Typowe nieporozumienia
- Siła Archimedesa bierze się z tego, że dno pcha do góry. Wynika z całki ciśnienia po całej zanurzonej powierzchni. Ciśnienie jest wyższe przy dnie, ale wkłady od ścian bocznych także są niezerowe, a wypadkowa to dokładnie ciężar wypartej cieczy — dlatego kształt naczynia nie zmienia wyniku.
- Skrzydła samolotu unoszą się, bo górna powierzchnia jest dłuższa i powietrze "musi nadążyć". Siła nośna wynika z różnicy ciśnień wytwarzanej przez cyrkulację i kształt skrzydła; zasada równego czasu przelotu to ludowe wyprowadzenie, które przypadkiem daje właściwą liczbę z niewłaściwego powodu. Dla skrzydeł przy małych prędkościach dominującym mechanizmem jest rozkład ciśnienia, a nie jakiekolwiek "przyspieszenie nad górą".
- Prawo Stokesa działa przy dowolnej prędkości. Tylko gdy Re < 1. Stalowa kulka o średnicy 1 cm opadająca w wodzie osiąga Re = 1 przy kilku dziesiątych milimetra na sekundę; powyżej tego ślad za kulką staje się asymetryczny, a opór rośnie w stronę zależności v². Stokes zaniża opór dla wszystkiego, co przypomina kulkę.
- Ciśnienie zawsze pcha od płynu na zewnątrz. W płynie w spoczynku ciśnienie jest izotropowe: pcha jednakowo we wszystkich kierunkach. "Pchnięcie od dołu" na zanurzoną powierzchnię to po prostu składowa w dół tego samego ciśnienia, które na każdym centymetrze kwadratowym pcha również w bok i do góry.
Powiązane narzędzia: Mechanika dla siły, pracy i energii, Termodynamika dla przepływów ściśliwych i dynamiki gazów oraz Konwerter jednostek do przełączania między Pa, bar, atm i psi.
