Każdy pomiar to liczba z uczciwym towarzyszem: jak pewni możemy być? Ten towarzysz ma dwie części — błąd przypadkowy, który powtarzanie pomiaru uśrednia, oraz błąd systematyczny, obciążenie, które utrzymuje się bez względu na liczbę pomiarów. Uczciwy zapis każdej wielkości to zatem x ± u(x), gdzie u to dobrze zdefiniowana niepewność; symbol ± jest skrótem oznaczającym "mniej więcej ten zakres z tym prawdopodobieństwem". Cztery kalkulatory na tym panelu obejmują robocze narzędzia: zliczanie cyfr znaczących (skrót księgowy), propagację niepewności przez sumy, różnice, iloczyny, ilorazy i potęgi (rachunek pomyłek), odchylenie standardowe (jak bardzo dane są rozproszone) oraz złożoną niepewność w stylu GUM dla wielu niezależnych składowych.
Dwa rodzaje błędów, dwa przeciwne zachowania: błąd przypadkowy maleje z pierwiastkiem z N (σ/√N), więc uśrednianie zawsze się opłaca; błąd systematyczny nie maleje wcale, dlatego kalibracja jest ważniejsza niż powtarzanie. Pomiar może mieć małe σ i mimo to być błędny z powodu obciążenia.
Cyfry znaczące — skrót księgowy
Cyfra znacząca to cyfra znana z pewnością; zera dopełniające liczbę do przyjętego rozmiaru nimi nie są. Pięć reguł: (1) wszystkie niezerowe cyfry są znaczące, (2) zera między niezerowymi są znaczące, (3) zera wiodące nie są znaczące (jedynie ustalają przecinek), (4) zera końcowe po przecinku są znaczące, (5) zera końcowe bez przecinka są niejednoznaczne (zalecany zapis naukowy). Domyślna wartość 0,0070800 ma więc 5 cyfr znaczących (7, 0, 8, 0, 0) i odczytuje się ją jako (7,0800 ± 0,00005)×10−3. Zapis 0,0070800 sugeruje tę samą precyzję co 7,0800×10−3; zapis 0,00708 sugeruje tysiąckrotnie mniejszą precyzję. Skrót działa w podręcznikowych raportach; w prawdziwym pomiarze uczciwą liczbą jest niepewność u, a cyfry znaczące to wygodny sposób jej wyrażenia bez pisania ± za każdym razem.
Propagacja błędów — rachunek pomyłek
Dla z = f(x, y) reguła łączenia niezależnych niepewności brzmi: σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². Dla czterech podstawowych działań sprowadza się to do: dodawania/odejmowania — sumuj błędy bezwzględne w kwadraturze σz = √(σx² + σy²); mnożenia/dzielenia — sumuj błędy względne w kwadraturze σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²); potęgi xn — mnoży błąd względny przez |n|: σz/z = |n|σx/x. Domyślny przykład (x = 10 ± 0,3, y = 5 ± 0,2, dodawanie) daje z = 15 i σz ≈ 0,36, czyli 15,00 ± 0,36 (około 2,4% względnie). Przełączenie na mnożenie przy tych samych danych daje z = 50 ± 2,5 (5% względnie) — te same wartości ±, zupełnie inna reguła propagacji, a względna niepewność iloczynu jest równa sumie kwadratowej względnych niepewności. Niepewności bezwzględne to właściwa waluta dla sum i różnic; niepewności względne — dla iloczynów i ilorazów.
Odchylenie standardowe — rozrzut danych
Odchylenie standardowe σ to pierwiastek średniokwadratowy odchyleń od średniej. Istnieją dwie wersje, zależnie od tego, co reprezentują dane: σ populacji = √(Σ(xi − x̄)² / n) opisuje rozrzut każdego elementu znanego zbioru; s próbki = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) szacuje rozrzut większej populacji, z której pobrano próbę. Domyślny przykład (10 wartości z przedziału 12,2–12,8 o średniej 12,5) daje σ populacji ≈ 0,1732, s próbki ≈ 0,1826 i SEM = s/√N ≈ 0,0577. Sama niepewność średniej to σ/√N (lub s/√N dla wersji próbkowej), dlatego uśrednienie 25 pomiarów tej samej wielkości zmniejsza niepewność pięciokrotnie w porównaniu z pojedynczym pomiarem. Odchylenie standardowe zasila też przedziały ufności: dla rozkładu normalnego ±1σ obejmuje 68,3%, ±2σ — 95,5%, ±3σ — 99,7%.
Rozszerzona niepewność — łączenie wszystkich źródeł
Gdy pomiar ma wiele niezależnych źródeł błędu (rozdzielczość przyrządu, kalibracja, powtarzalność, dryf temperaturowy, efekt operatora), złożona niepewność w stylu GUM wynosi uc = √(Σui²). Źródła klasyfikuje się jako typu A (statystyczne, z danych) i typu B (cała reszta, z niepewnościami oszacowanymi na podstawie oceny lub specyfikacji producenta); oba wpływają na uc w ten sam sposób. Współczynnik rozszerzenia k skaluje następnie przedział do wybranego poziomu ufności: k = 1 dla 68,3%, k = 2 dla 95,5%, k = 2,58 dla 99,0%, k = 3 dla 99,7%. Domyślny przykład (składowe 0,15, 0,08, 0,05, 0,03 mm, k = 2) daje uc ≈ 0,1797 mm i U = k·uc ≈ 0,3595 mm przy 95,5%. Podana wartość to wtedy (wynik pomiaru ± 0,36) mm przy tym poziomie ufności. GUM (ISO/IEC Guide 98-3) to międzynarodowa norma tej procedury. Składowe typu A pochodzą ze statystyki powtarzanych odczytów, typu B — ze specyfikacji przyrządów i oceny; obie łączą się tą samą sumą kwadratową.
Typowe nieporozumienia
- Więcej cyfr znaczących oznacza dokładniejszy pomiar. Tylko wtedy, gdy te cyfry naprawdę pochodzą z pomiaru. Długość "12,34567 m" zapisana ręcznie nie jest dokładna co do jednej części na dziesięć milionów — cyfry znaczące to sposób przekazania precyzji, a nie sposób jej wytworzenia. Podawanie ± jest uczciwsze niż dopisywanie zmyślonych cyfr.
- Błąd systematyczny można zredukować uśrednianiem. Dokładnie na odwrót: błędy przypadkowe uśredniają się jak 1/√N, ale obciążenie systematyczne (źle wyskalowana waga, przesunięte zero) pozostaje bez zmian bez względu na liczbę pomiarów. Trzeba zidentyfikować obciążenie, a nie je uśredniać. To pułapka "dane wyglądają tak powtarzalnie!" w zepsutym eksperymencie.
- Odchylenie standardowe mówi o błędzie pojedynczego pomiaru. Charakteryzuje rozrzut rozkładu, a nie błąd pojedynczej próby. Błąd standardowy średniej (s/√N) jest właściwą wielkością przy podawaniu, jak dobrze znamy x̄ z próby o N elementach.
- Niepewność to zawsze ± w ostatniej cyfrze. Standardowa konwencja brzmi: "zaokrąglij niepewność do jednej (czasem dwóch) cyfr znaczących, a następnie zaokrąglij wartość tak, by pasowała". Pomiar 12,345678 ± 0,234 należy podać jako 12,35 ± 0,23, a nie 12,345678 ± 0,234.
Powiązane narzędzia: Statystyka dla leżących u podstaw rozkładów prawdopodobieństwa, Mechanika dla układów doświadczalnych, które dają liczby, oraz Kalkulator dla algebry propagacji.
