Cztery wielkości zachowane wykonują najcięższą pracę: pęd (p = mv), gdy nie działa siła zewnętrzna; energia mechaniczna (Ek + Ep), gdy działają tylko siły zachowawcze; moment pędu, gdy nie działa moment zewnętrzny; masa w zwykłych (niejądrowych) oddziaływaniach. Razem rozwiązują niemal każde zadanie z podręcznika.
Rzut ukośny — paraboliczny lot
Wystrzel cokolwiek z prędkością początkową v0 pod kątem θ nad poziomem, a tor stanie się parabolą, gdy opór powietrza jest pomijalny. Ruchy poziomy i pionowy są niezależne: x(t) = v0 cosθ · t (stała prędkość pozioma) oraz y(t) = v0 sinθ · t − ½g t² (jednostajnie przyspieszone opadanie pionowe). Z tej kinematyki wynikają trzy wyniki zbiorcze: zasięg R = v0² sin(2θ) / g, maksymalna wysokość H = v0² sin²(θ) / (2g), czas lotu T = 2v0 sinθ / g (dla wystrzału z poziomu gruntu). Domyślny przykład (v0 = 20 m/s, θ = 45°, g Ziemi = 9,81 m/s²) daje vx = vy = 14,142 m/s, R = 40,775 m, H = 10,194 m i T = 2,883 s. Kąt 45° daje maksymalny zasięg na płaskim terenie dla danej prędkości, a na Księżycu ten sam rzut sięga R = 246,91 m, bo grawitacja jest sześciokrotnie słabsza.
Swobodny spadek — trzy równoważne postacie kinematyczne
Obiekt puszczony ze spoczynku spada pod stałą grawitacją z trzema wymiennymi zależnościami: v = gt (prędkość chwilowa w czasie t), h = ½g t² (droga przebyta z spoczynku po czasie t) oraz v = √(2gh) (prędkość po przebyciu drogi h). Każda jest szczególnym przypadkiem równań kinematycznych i można je przekształcać jedna w drugą przez podstawienie. Domyślny przykład (h = 100 m, Ziemia) daje t = 4,515 s, v = 44,294 m/s oraz v = 159,46 km/h — mniej więcej prędkość graniczną spadochroniarza w stabilnej pozycji z rozłożonymi kończynami. Przełącz na tryb z czasu, a spadek trwający 3 sekundy daje d = 44,145 m i v = 29,43 m/s (około 105,95 km/h). Ten sam spadek na Księżycu trwa t = 11,11 s i osiąga tylko 17,97 m/s — ten sam upadek, sześciokrotnie wolniej.
Równia pochyła — grawitacja rozłożona na składowe
Klocek o masie m na pochylni o kącie θ odczuwa grawitację W = mg pionowo w dół, ale przyspiesza go tylko składowa wzdłuż powierzchni; składowa w powierzchnię jest równoważona przez siłę normalną. Podział wynika z geometrii: Frównoległa = mg sinθ, normalna N = mg cosθ. Tarcie dodaje siłę oporu f = μN = μmg cosθ przeciwdziałającą ruchowi; współczynnik tarcia kinetycznego μ wynosi od ok. 0,04 (stal na lodzie) do 0,8 (guma na gumie). Wypadkowa siła w dół zbocza to Fwyp = mg sinθ − μmg cosθ, co daje przyspieszenie a = g(sinθ − μ cosθ). Domyślny przykład (m = 10 kg, θ = 30°, μ = 0,2, g = 9,81 m/s²) daje W = 98,1 N, N = 84,957 N, Frównoległa = 49,05 N, f = 16,991 N, Fwyp = 32,059 N i a = 3,206 m/s². Klocek zsuwa się w dół, bo składowa równoległa przewyższa tarcie. Podnieś μ do 0,6, a siła wypadkowa stanie się ujemna — klocek zostaje na miejscu (albo zsuwa się w górę, jeśli go popchnięto); tarcie wygrało. Kąt, przy którym klocek z tarciem zaczyna się zsuwać, to arctan(μ), czyli kąt tarcia; poniżej niego tarcie statyczne utrzymuje klocek.
Drugie prawo Newtona — F = m · a, trzy tryby rozwiązywania
Drugie prawo Newtona w postaci skalarnej to F = m · a: wypadkowa siła działająca na obiekt równa jest jego masie pomnożonej przez przyspieszenie. Domyślny przykład (masa 10 kg, przyspieszenie 5 m/s²) daje F = 50 N. Zmień listę rozwijaną, a ten sam panel rozwiąże względem masy (m = F / a), przyspieszenia (a = F / m) lub ciężaru (W = m · g, przy grawitacji Ziemi 9,81 m/s²). Osoba o masie 70 kg ma W = 686,7 N na Ziemi i W = 113,4 N na Księżycu — ta sama osoba, ta sama masa, ale sześciokrotnie różny ciężar, bo grawitacja jest sześciokrotnie słabsza. Ciężar to siła (niutony); masa to ilość materii (kilogramy).
Pęd i impuls — dwa prawa zachowania
Poruszający się obiekt ma pęd p = mv, wektor skierowany wzdłuż prędkości. Aby zmienić pęd obiektu, potrzebny jest impuls J = FΔt = Δp, równy sile przyłożonej w czasie jej działania. Domyślny przykład (m = 2 kg, v = 15 m/s, F = 50 N, t = 0,5 s) daje p = 30 kg·m/s, Ek = 225 J, J = 25 N·s, Δv = 12,5 m/s oraz prędkość końcową vkońcowa = 27,5 m/s, jeśli impuls działa w kierunku ruchu. Ten sam impuls dostarczony mniejszą siłą w dłuższym czasie ("miękkie" złapanie) lub większą siłą w krótszym ("twarde" zderzenie) daje tę samą zmianę pędu. W układzie zamkniętym bez sił zewnętrznych całkowity pęd jest zachowany: obiekt 2 kg poruszający się z prędkością 15 m/s uderzający w nieruchomy obiekt 1 kg kończy z v1' = 5 m/s i v2' = 20 m/s (doskonale sprężyście) albo oba dzielą wspólną prędkość v = 10 m/s (doskonale niesprężyście). Ta księgowość stoi u podstaw każdej analizy zderzeń, od bilardu po wiązki protonów.
Praca, energia i moc — zachowana księgowość
Gdy siła przesuwa obiekt o pewną odległość, wykonuje pracę W = F · d (iloczyn skalarny sprawia, że wzór jest dokładny także dla sił nachylonych: liczy się tylko składowa F wzdłuż d). Energia, jaką obiekt ma dzięki ruchowi, to energia kinetyczna Ek = ½mv²; energia, jaką ma dzięki położeniu w polu grawitacyjnym, to energia potencjalna Ep = mgh. Całkowita energia mechaniczna E = ½mv² + mgh jest zachowana, gdy działa tylko grawitacja (bez tarcia i bez sił przyłożonych) — dlatego wahadło wychyla się za każdym cyklem na tę samą wysokość, a piłka rzucona w górę wraca z prędkością startową. Moc P = W / t mierzy szybkość, z jaką wykonywana jest praca. Domyślny przykład (m = 5 kg, v = 10 m/s, h = 20 m, g = 9,81, F = 50 N, d = 4 m, t = 2 s) daje Ek = 250 J, Ep = 981 J, energię mechaniczną całkowitą = 1231 J, W = 200 J, P = 100 W oraz P = 0,1341 KM.
Typowe nieporozumienia
- Cięższe obiekty spadają szybciej niż lżejsze. W próżni jest odwrotnie: każdy obiekt przyspiesza z tym samym g, niezależnie od masy. Opór powietrza psuje tę zasadę, bo zależy od przekroju, a nie od ciężaru — piórko i młotek upuszczone razem na Ziemi docierają do podłoża w różnym czasie, ale na Księżycu (bez powietrza) docierają razem, co pokazano na żywo podczas Apollo 15.
- Siła i prędkość to to samo. Siła powoduje przyspieszenie (F = ma); prędkość to to, co daje utrzymywana siła. Zablokowany samochód ma siłę na kołach, ale zerową prędkość; krążek hokejowy ślizga się po beztarciowym lodzie ze stałą prędkością przy zerowej sile wypadkowej.
- Pęd i energia kinetyczna to to samo. Oba zanikają w spoczynku, ale skalują się inaczej. Podwojenie prędkości podwaja pęd (p = mv), ale czterokrotnie zwiększa energię kinetyczną (Ek = ½mv²). Ciężarówka o masie 2 ton jadąca 60 mph ma taki sam pęd jak samochód o masie 1 tony jadący 120 mph, ale to samochód ma dwa razy większą energię kinetyczną.
- "g" to nie siła. g to przyspieszenie grawitacyjne (m/s²). Siła działająca na obiekt od grawitacji to W = mg. Ciało o masie 1 kg waży 9,81 N na Ziemi; na Księżycu waży 1,62 N, bo g jest sześciokrotnie mniejsze.
Powiązane narzędzia: Kalkulator wektorowy do rozkładu sił i prędkości na składowe, Elektryczność i obwody dla kontekstu siły elektromagnetycznej, Fale i oscylacje dla oscylacyjnych kuzynów rzutu ukośnego, Obrót i moment obrotowy dla odpowiednika momentu pędu ruchu prostoliniowego oraz Termodynamika i ciepło dla strony energetycznej mechaniki.
