Duas leis de conservação fazem o trabalho pesado: a conservação da massa dá a continuidade (Q = A·v, A1v1 = A2v2), e a conservação da energia ao longo de uma linha de corrente dá Bernoulli (P + ½ρv² + ρgh = constante). Tudo o resto — flutuação, pressão hidrostática, arrasto — é um caso especial ou uma consequência.
Flutuação de Arquimedes — peso deslocado
Qualquer corpo submerso num fluido sente uma força para cima igual ao peso do fluido que desloca: Fb = ρ·V·g, em que ρ é a massa volúmica do fluido, V o volume deslocado e g a aceleração gravítica. O exemplo predefinido (ρ = 1000 kg/m³ de água doce, V = 0,01 m³, g = 9,81 m/s²) dá Fb ≈ 98,1 N — o peso de 10 kg de água. É exatamente por isso que um bloco de madeira de 10 kg (massa volúmica 700 kg/m³) fica meio submerso: metade do seu volume desloca metade do seu peso. Um objeto flutua quando a sua massa volúmica média é inferior à do fluido; afunda-se quando é superior; fica suspenso quando é exatamente igual. Para gases a mesma relação funciona, com ρ em torno de 1,2 kg/m³ ao nível do mar, razão por que um balão de hélio levanta apenas cerca de 1 grama por litro — o contraste de massa volúmica é minúsculo.
Pressão hidrostática — peso da coluna
Num fluido estático, a pressão cresce linearmente com a profundidade: P = P0 + ρg·h, em que P0 é a pressão à superfície (atmosférica, 101 325 Pa ao nível do mar). O exemplo predefinido (20 m de água doce) dá uma pressão manométrica de ρg·h = 196 200 Pa e uma pressão total de 297 525 Pa (cerca de 2,94 atm, 2,98 bar). A pressão depende apenas da profundidade e da massa volúmica do fluido, não da forma do recipiente — o "paradoxo hidrostático" — porque cada elemento de fluido à profundidade h tem o mesmo peso de coluna por cima. Princípio de Pascal: uma variação de pressão aplicada a um fluido confinado transmite-se sem diminuir a todas as partes, razão por que os elevadores hidráulicos multiplicam a força: uma força pequena num pistão pequeno cria a mesma pressão que empurra um pistão grande com uma força proporcionalmente grande.
Bernoulli — energia ao longo de uma linha de corrente
Para um escoamento estacionário, incompressível e não viscoso, a energia por unidade de volume conserva-se ao longo de qualquer linha de corrente: P + ½ρv² + ρgh = constante. O exemplo predefinido começa à pressão atmosférica, v1 = 2 m/s, h1 = 10 m, e termina com v2 = 4 m/s, h2 = 5 m — o painel devolve P2 ≈ 144 375 Pa, com uma constante de cerca de 201 425 Pa. A descida de altura acrescenta pressão potencial; o aumento de velocidade retira pressão estática. Este é o princípio de funcionamento do venturi (um estreitamento num tubo acelera o escoamento e baixa a pressão), do carburador (uma garganta no canal de ar baixa a pressão e aspira combustível), da asa do avião (a superfície de cima acelera o ar, baixando-lhe a pressão e sustentando a asa) e do tubo de Pitot (a diferença de pressão mede a velocidade). Bernoulli falha sempre que o escoamento não é estacionário, não é incompressível ou não é invíscido — sobretudo a números de Reynolds elevados, onde a turbulência torna a pressão ruidosa e a fórmula faz média no tempo. A sustentação de um perfil deve-se sobretudo à terceira lei de Newton — desviar o escoamento de ar para baixo — com a diferença de pressão de Bernoulli como contabilidade, não como causa.
Caudal — quanto por segundo
O caudal volúmico é Q = A·v, com A a área da secção transversal e v a velocidade média. O exemplo predefinido (A = 0,05 m², v = 3 m/s) dá Q = 0,15 m³/s = 150 L/s, ou 9 m³ por minuto. Num escoamento incompressível através de um tubo que varia, a conservação da massa impõe A1·v1 = A2·v2: reduzir a secção para metade duplica a velocidade. É por isso que uma mangueira de jardim com o polegar na ponta projeta a água mais longe, e por que estreitar um rio nos rápidos produz águas bravas. A regra da continuidade é local em cada instante; a velocidade não "se lembra" das secções anteriores. Para escoamentos compressíveis (gasodutos, motores a jato) o invariante correto é o caudal mássico ρA·v, constante quando não se acrescenta nem retira fluido.
Arrasto de Stokes — o extremo laminar da resistência do fluido
Para uma esfera de raio r que se move a baixa velocidade num fluido de viscosidade μ, a força de arrasto é Fd = 6πμr·v. O exemplo predefinido (μ = 0,001 Pa·s água, r = 1 cm, v = 0,5 m/s) dá Fd ≈ 9,42×10−5 N (cerca de 94 μN). A relação é linear em v porque, a baixo número de Reynolds, a esteira é simétrica e a viscosidade domina; o trabalho que a esfera realiza contra o arrasto transforma-se em aquecimento viscoso do fluido. O arrasto de Stokes só funciona quando Re < 1 — para uma esfera de 1 cm na água isto significa velocidades abaixo de cerca de 10−4 m/s. A velocidades mais altas o coeficiente de arrasto torna-se aproximadamente constante e a força escala com v² em vez de v. O arrasto de Stokes é o que controla a sedimentação de poeiras no ar, a natação de bactérias e a queda de sedimentos finos na água.
Número de Reynolds — ordem versus caos
A razão adimensional Re = ρvL/μ compara forças de inércia com forças viscosas. O exemplo predefinido (água, v = 1 m/s, L = 0,1 m) dá Re ≈ 100 000, bem dentro do regime turbulento. Empiricamente: Re < ~2 000 significa escoamento laminar (suave, previsível, linhas de corrente paralelas); Re > ~4 000 significa turbulento (caótico, misturado, com turbilhões); a faixa estreita entre os dois é transitória. O escoamento sanguíneo na aorta (Re ~ 4 000) está na fronteira; nos capilares (Re ~ 0,001) é firmemente laminar e aplica-se o arrasto de Stokes. O ar sobre a asa de um avião é intencionalmente turbulento para atrasar a separação do escoamento. O número de Reynolds é a razão por que os tubos têm uma "velocidade crítica" acima da qual o custo de bombagem salta, e a razão por que o fumo de uma vela sobe como uma pluma laminar suave durante alguns centímetros antes de se desfazer em espirais caóticas.
Ideias erradas comuns
- A força de Arquimedes vem da base a empurrar para cima. Vem do integral da pressão sobre toda a superfície molhada. A pressão é maior no fundo, mas as contribuições laterais também não são nulas, e o resultado líquido é exatamente o peso do fluido deslocado — razão por que a geometria do recipiente não altera a resposta.
- As asas dos aviões sustentam-se porque a superfície de cima é mais comprida e o ar "tem de alcançar". A sustentação vem de uma diferença de pressão gerada pela circulação e pela forma da asa; o tempo de trânsito igual é uma derivação popular que dá, por acaso, a resposta numérica certa por uma razão errada. Para asas a baixa velocidade o mecanismo dominante é a distribuição de pressão, não qualquer "aceleração sobre a parte de cima".
- A lei de Stokes funciona a qualquer velocidade. Só quando Re < 1. Uma bola de aço de 1 cm a cair na água atinge Re = 1 a poucas décimas de milímetro por segundo; acima disso a esteira torna-se assimétrica e o arrasto cresce em direção ao comportamento de v². Stokes subestima o arrasto para qualquer coisa parecida com uma bola de gude.
- A pressão empurra sempre para fora do fluido. Num fluido estático a pressão é isotrópica: empurra igualmente em todas as direções. O "empurrão de baixo" numa superfície submersa é apenas a componente para baixo da mesma pressão que empurra lateralmente e para cima em cada centímetro quadrado.
Ferramentas relacionadas: Mecânica para força, trabalho e energia, Termodinâmica para escoamento compressível e dinâmica de gases, e o Conversor de unidades para passar entre Pa, bar, atm e psi.
