Toda a medição é um número com um companheiro honesto: quão confiantes podemos estar? Esse companheiro tem duas partes — um erro aleatório, que a repetição da medição faz diminuir por média, e um erro sistemático, um viés que persiste por muitas vezes que se meça. O relato honesto de qualquer grandeza é portanto x ± u(x), com u uma incerteza bem definida; o símbolo ± é uma abreviatura de "aproximadamente este intervalo com esta probabilidade". As quatro calculadoras deste painel cobrem as ferramentas de trabalho: a contagem de algarismos significativos (o atalho de contabilidade), a propagação de incertezas através de somas, diferenças, produtos, quocientes e potências (o cálculo dos erros), o desvio-padrão (quão dispersos estão os dados) e a incerteza combinada ao estilo do GUM de múltiplas componentes independentes.
Dois tipos de erro, dois comportamentos opostos: o erro aleatório diminui com a raiz quadrada de N (σ/√N), por isso a média ganha sempre; o erro sistemático não diminui de todo, razão por que a calibração importa mais do que a repetição. Uma medição pode ter um σ minúsculo e continuar errada por causa de um viés.
Algarismos significativos — o atalho de contabilidade
Um algarismo significativo é um dígito conhecido com confiança; os zeros que completam um número para cumprir uma convenção de tamanho não o são. Cinco regras: (1) todos os dígitos não nulos são significativos, (2) os zeros entre não nulos são significativos, (3) os zeros à esquerda não são significativos (apenas posicionam a vírgula), (4) os zeros finais depois da vírgula decimal são significativos, (5) os zeros finais sem vírgula decimal são ambíguos (use notação científica). O valor predefinido 0,0070800 tem portanto 5 algarismos significativos (7, 0, 8, 0, 0) e lê-se como (7,0800 ± 0,00005)×10−3. Reportar 0,0070800 implica a mesma precisão que reportar 7,0800×10−3; reportar 0,00708 implica uma precisão mil vezes menor. O atalho funciona para relatórios de manual; para uma medição real a incerteza u é o número honesto, e os algarismos significativos são uma forma cómoda de a exprimir sem escrever o ± todas as vezes.
Propagação de erros — o cálculo dos erros
Para z = f(x, y), a regra para combinar incertezas independentes é σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². Para as quatro operações de trabalho, isto reduz-se a: adição/subtração somam os erros absolutos em quadratura σz = √(σx² + σy²); multiplicação/divisão somam os erros fracionários em quadratura σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²); a potência xn escala o erro fracionário por |n|: σz/z = |n|σx/x. O exemplo predefinido (x = 10 ± 0,3, y = 5 ± 0,2, adição) dá z = 15 e σz ≈ 0,36, ou 15,00 ± 0,36 (cerca de 2,4% relativos). Mudar para multiplicação com as mesmas entradas dá z = 50 ± 2,5 (5% relativos) — os mesmos valores ±, uma regra de propagação muito diferente, e a incerteza relativa do produto é igual à soma em quadratura das incertezas relativas. As incertezas absolutas são a moeda certa para somas/diferenças; as incertezas fracionárias são a moeda certa para produtos/quocientes.
Desvio-padrão — a dispersão dos dados
O desvio-padrão σ é o desvio quadrático médio em relação à média. Existem duas versões consoante o que os dados representam: σ da população = √(Σ(xi − x̄)² / n) descreve a dispersão de todos os membros de um conjunto conhecido; s da amostra = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) estima a dispersão da população maior de onde a amostra foi retirada. O exemplo predefinido (10 valores entre 12,2 e 12,8 com média 12,5) dá σ da população ≈ 0,1732, s da amostra ≈ 0,1826 e SEM = s/√N ≈ 0,0577. A incerteza da própria média é σ/√N (ou s/√N para a versão amostral), razão por que calcular a média de 25 medições de uma mesma grandeza reduz a incerteza por um fator de 5 face a uma só. O desvio-padrão também alimenta os intervalos de confiança: para uma distribuição normal, ±1σ contém 68,3%, ±2σ 95,5%, ±3σ 99,7%.
Incerteza estendida — combinar todas as fontes
Quando uma medição tem várias fontes de erro independentes (resolução do instrumento, calibração, repetibilidade, deriva de temperatura, efeito do operador), a incerteza combinada ao estilo do GUM é uc = √(Σui²). As fontes classificam-se em Tipo A (estatísticas, a partir dos dados) e Tipo B (tudo o resto, com incertezas estimadas por juízo ou pela especificação do fabricante); ambas alimentam uc da mesma forma. Um fator de cobertura k escala depois o intervalo para uma confiança escolhida: k = 1 para 68,3%, k = 2 para 95,5%, k = 2,58 para 99,0%, k = 3 para 99,7%. O exemplo predefinido (fontes de 0,15, 0,08, 0,05, 0,03 mm, k = 2) dá uc ≈ 0,1797 mm e U = k·uc ≈ 0,3595 mm a 95,5%. O valor reportado passa a ser (medição ± 0,36) mm com essa confiança. O GUM (ISO/IEC Guide 98-3) é a norma internacional para o procedimento. As componentes do Tipo A vêm da estatística de leituras repetidas, as do Tipo B das especificações do instrumento e do juízo — ambas se combinam pela mesma soma em quadratura.
Ideias erradas comuns
- Mais algarismos significativos significa uma medição mais exata. Só se esses algarismos vierem realmente da medição. Um comprimento de "12,34567 m" escrito à mão não tem exatidão de 1 em 10 milhões — os algarismos significativos são uma forma de comunicar a precisão, não de a inventar. Indicar ± é mais honesto do que completar com algarismos inventados.
- O erro sistemático pode ser reduzido por média. É o contrário: os erros aleatórios baixam com 1/√N na média, mas um viés sistemático (uma balança mal calibrada, um zero descentrado) mantém-se seja qual for o número de medições. Identifique e corrija o viés. Esta é a armadilha do "os dados são tão reprodutíveis!" numa experiência avariada.
- O desvio-padrão diz-lhe sobre o erro de uma única medição. Caracteriza a dispersão da distribuição, não o erro de um ensaio isolado. O erro-padrão da média (s/√N) é a grandeza relevante quando se reporta quão bem se conhece x̄ a partir de uma amostra de N.
- A incerteza é sempre ± no último algarismo. A convenção padrão é "arredondar a incerteza para um (por vezes dois) algarismos significativos e depois arredondar o valor para corresponder". Uma medição de 12,345678 ± 0,234 deve ser reportada como 12,35 ± 0,23, e não como 12,345678 ± 0,234.
Ferramentas relacionadas: Estatística para as distribuições de probabilidade subjacentes, Mecânica para as montagens experimentais que produzem os números, e a Calculadora para a álgebra da propagação.
