Calculadora de ondas e oscilações

Oscilações e ondas são a mesma física subjacente com roupagens diferentes. Uma oscilação é qualquer coisa que se move para trás e para a frente em torno de uma posição de equilíbrio — uma massa numa mola, a massa de um pêndulo, uma tensão nos terminais de um condensador, a altura de uma corda de guitarra, a pressão no interior de uma onda sonora. Uma onda é uma oscilação que se propaga: o mesmo movimento para trás e para a frente, mas agora a acontecer num instante ligeiramente diferente em cada ponto do espaço, pelo que uma fotografia mostra um padrão sinusoidal que se propaga. Ambos são governados por uma única equação diferencial, o oscilador harmónico simples (MHS) x''(t) = -ω²x(t), cuja solução geral é a sinusoide x(t) = A cos(ωt + φ). A partir daí, período T = 2π/ω, frequência f = ω/(2π), velocidade máxima v_max = Aω, aceleração máxima a_max = Aω². Seis painéis desta página cobrem os casos canónicos: o próprio MHS, o pêndulo como relógio, a equação da onda v = fλ para ondas progressivas, o desvio Doppler quando se move a fonte ou o observador, a ressonância LC como análogo elétrico de uma massa numa mola, e a frequência de batimento quando dois tons próximos interferem.

O MHS é qualquer movimento em que a força de restauro (ou binário, ou tensão, ou diferença de pressão) é proporcional ao deslocamento a partir do equilíbrio. A massa numa mola é o caso de manual: F = -kx produz x'' = -(k/m)x, logo ω = √(k/m). A posição em qualquer instante é x(t) = A cos(ωt + φ), a velocidade v(t) = -Aω sin(ωt + φ), a aceleração a(t) = -Aω² cos(ωt + φ). Com o exemplo (A = 0,1 m, ω = 6,28 rad/s), T = 2π/ω ≈ 1,0005 s, f = ω/(2π) ≈ 0,9995 Hz, v_max = Aω = 0,628 m/s, a_max = Aω² ≈ 3,9438 m/s². Se também introduzir um instante t, a calculadora indica o x(t), v(t), a(t) instantâneos — três sinusoides desfasadas de 90°. O MHS aparece nas redes atómicas (onde modela os fonões), nos circuitos de corrente alternada (onde a tensão e a corrente oscilam sinusoidalmente com ω = 2πf), e em qualquer pequena vibração em torno do equilíbrio.

Um pêndulo de comprimento L a oscilar sob a gravidade g para pequenos ângulos (θ < ~15°) satisfaz a equação do MHS com ω = √(g/L). O período é o famoso T = 2π√(L/g), que Galileu foi o primeiro a notar ser independente da massa do peso e de quão longe se oscila. Com L = 1 m e g = 9,81 m/s² (Terra), T ≈ 2,006 s, o canónico "pêndulo de segundos" que deu ao metro a sua definição original (meio-período = 1 s). Na Lua, com g = 1,62 m/s², o mesmo pêndulo de 1 m demora T ≈ 4,94 s; em Marte (g = 3,72 m/s²), T ≈ 3,26 s. Acima de cerca de 15° de amplitude a aproximação de pequeno ângulo começa a desviar-se e entra um termo de correção, razão por que um relógio de parede antigo usa um pêndulo longo e lento (baixa amplitude) em vez de um curto e rápido. A massa do peso cancela em √(g/L): pesos pesados e leves na mesma corda mantêm períodos idênticos.

Toda a onda progressiva, seja sonora, luminosa, de água ou sísmica, obedece à mesma relação fundamental: v = fλ — a velocidade da onda é igual à frequência vezes o comprimento de onda. Três modos aqui resolvem qualquer uma das incógnitas dadas as outras duas. O exemplo (f = 440 Hz, λ = 0,78 m) dá v = 343,2 m/s — exatamente a velocidade do som no ar a 20°C. Três velocidades de referência ancoram as ordens de grandeza: o som no ar ~343 m/s, o som na água ~1480 m/s, a luz no vácuo c = 3×10⁸ m/s. Para passar a onda de um meio para outro usa-se a lei de Snell (abordada na página de ótica) para a refração, mas dentro de um único meio homogéneo v é fixada pelas propriedades do meio (densidade e rigidez para o som, permitividade e permeabilidade para a luz).

O efeito Doppler é a variação da frequência observada quando a fonte e o observador se movem um em relação ao outro. A fórmula clássica é f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s), em que o sinal superior no numerador se usa quando o observador se aproxima da fonte (ouve uma altura mais alta) e o sinal inferior no denominador quando a fonte se aproxima do observador (ouve igualmente uma altura mais alta). Exemplo (f = 1000 Hz, v = 343 m/s, fonte parada, observador a aproximar-se da fonte a 30 m/s): f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087,46 Hz, um desvio de +87,46 Hz ou +8,75%. A mesma fonte de 30 m/s a aproximar-se de um ouvinte parado dá a mesma resposta (a fórmula é simétrica). A altas velocidades a correção relativista torna-se significativa; para um radar a medir um carro a 30 m/s o fator γ difere de 1 em apenas ~5×10⁻¹⁷, razão por que a fórmula clássica basta para o som mas a luz exige a versão relativista.

Um circuito LC (indutor L em paralelo com condensador C) é o análogo elétrico da massa numa mola: a carga desempenha o papel do deslocamento, a corrente o papel da velocidade, a indutância L o papel da massa e 1/C o papel da rigidez da mola. A carga oscila com ω = 1/√(LC), equivalentemente f = 1/(2π√(LC)). O exemplo (L = 100 mH, C = 10 μF) dá LC = 1×10⁻⁴, √(LC) = 1×10⁻⁷, pelo que f ≈ 159,15 Hz, com frequência angular ω ≈ 1000 rad/s e período T ≈ 6,28×10⁻⁷ s. Os circuitos LC reais têm também resistência, que faz a oscilação decair — essa taxa de decaimento é o que um sintonizador de rádio AM minimiza para escolher uma estação com limpeza. Se adicionar uma fonte excitadora exatamente à frequência f, o circuito entra em ressonância, com amplitudes de tensão e corrente muito superiores às de fora da ressonância.

Quando dois tons de frequências ligeiramente diferentes soam em conjunto, a pressão do ar é a soma de duas sinusoides — que, pela trigonometria, equivale a um cosseno à frequência média f_p = (f₁ + f₂)/2 modulado por uma envolvente lenta a f_batimento = |f₁ − f₂|. O ouvido ouve a altura média a crescer e a diminuir à taxa do batimento. Exemplo (f₁ = 440 Hz, f₂ = 445 Hz) dá f_batimento = 5 Hz, f_p = 442,5 Hz, período de batimento = 0,2 s — uma pulsação claramente audível 5 vezes por segundo. Abaixo de ~10 Hz os batimentos ouvem-se como pulsos distintos; acima de ~30 Hz fundem-se numa aspereza ou num tremolo. Os afinadores de piano exploram isto: tocam uma altura de referência e a corda que estão a ajustar, ouvem os batimentos e rodam a clavelha até os batimentos desaparecerem. Quando as cordas estão perfeitamente afinadas f_batimento = 0 e a calculadora indica "Frequências idênticas — sem batimentos".

• Período e frequência não são a mesma coisa. T (segundos por ciclo) e f (ciclos por segundo) são recíprocos. T = 1/f. Uma oscilação de 0,5 Hz demora 2 segundos a completar um ciclo.
• O período do pêndulo depende pouco da amplitude. O período exato para uma amplitude finita θ₀ é T = T₀·(1 + θ₀²/16 + πθ₀⁶/…). Para 15° é uma correção de 0,7%; para 30° cerca de 1,7% — normalmente ignorada nos problemas introdutórios.
• O desvio Doppler é o mesmo quer se mova a fonte quer o observador. Quer a fonte se aproxime de um observador parado, quer o observador se aproxime de uma fonte parada à mesma velocidade, a variação de altura é idêntica (não relativisticamente).
• Ressonância não é o mesmo que amplitude máxima. A ressonância é a condição ω_excitação = ω_natural. Com amortecimento, a amplitude máxima fica abaixo do valor sem amortecimento; sem amortecimento, a amplitude cresce sem limite (limitada apenas pela não linearidade).

Ferramentas relacionadas: Física moderna para as ondas de de Broglie e a dualidade onda-partícula, Eletricidade e circuitos para a análise em corrente alternada, onde está a ressonância LC, e Ótica e luz para as ondas eletromagnéticas.