Três produtos fazem tudo o que precisa: o produto escalar (um escalar que mede o alinhamento, A·B = |A||B|cosθ), o produto vetorial (um vetor perpendicular a ambos os vetores de entrada, de módulo |A||B|sinθ) e o operador de projeção (componente de A numa direção escolhida). São a contabilidade de todas as fórmulas de física que envolvem mais de um vetor.
Módulo e o exemplo canónico 2D
O triângulo retângulo 3-4-5 é o exemplo canónico para vetores 2D. Tome A = (3, 4). O seu módulo é |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5. A sua direção a partir do eixo +x é arctan(4/3) ≈ 53,13°. Qualquer vetor 2D pode escrever-se como um módulo vezes um vetor unitário que aponta nessa direção: A = 5·(0,6, 0,8). O painel de decomposição aceita um módulo e os ângulos θ e φ e devolve as componentes x, y, z segundo qualquer das convenções esféricas (x = r cosθ cosφ, y = r cosθ sinφ, z = r sinθ) ou planar (ignorando φ, x = r cosθ, y = r sinθ). Para r = 10, θ = 36,87° no modo 2D devolve (8, 6, 0) — o triângulo retângulo 6-8-10, escalado a partir do 3-4-5 original. Reconhecer estes triângulos inteiros é o atalho para identificar quais as componentes perpendiculares sem recorrer à trigonometria.
Produto escalar — medida escalar do alinhamento
Para dois vetores A e B, o produto escalar A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz) é um escalar igual a |A||B|cosθ — isto é, o produto dos módulos pelo cosseno do ângulo entre eles. O exemplo 2D predefinido (A = (3, 4), B = (5, 2)) dá A·B = 15 + 8 = 23, módulos |A| = 5 e |B| = √29 ≈ 5,385, e cosθ = 23/(5 × 5,385) = 23/26,93 ≈ 0,854, pelo que θ ≈ 31,33°. Três consequências de sinal carregam toda a interpretação: cosθ > 0 significa ângulo agudo e vetores que apontam mais ou menos no mesmo sentido; cosθ < 0 significa obtuso e vetores opostos; cosθ = 0 significa perpendiculares. O produto escalar é o trabalho realizado por uma força F ao longo de um deslocamento d (W = F·d), e o cosseno é a razão por que empurrar com um ângulo é menos eficaz do que empurrar ao longo da linha do movimento.
Produto vetorial — vetor perpendicular a ambos os vetores de entrada
O produto vetorial é uma operação exclusivamente 3D cujo resultado é um vetor perpendicular a ambos os vetores de entrada, de módulo |A||B|sinθ e direção definida pela regra da mão direita (o indicador ao longo de A, o médio ao longo de B, o polegar dá A×B). Em componentes, A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx). O exemplo 3D predefinido (A = (2, 3, 4), B = (5, 1, 2)) dá A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13). O produto vetorial é antissimétrico: B×A = −A×B, pelo que trocar as entradas inverte o sinal. Três aparecimentos na física: o binário τ = r×F (força rotacional), o momento angular L = r×p (momento angular orbital) e a força magnética F = qv×B sobre uma carga em movimento. O módulo |A×B| é igual à área do paralelogramo que os dois vetores geram, razão por que os resultados do produto vetorial descrevem sempre área ou rotação. O binário é o produto vetorial em ação: τ = r×F tem módulo |r||F|sinθ, pelo que empurrar pelo eixo dá zero e uma chave mais comprida dá mais binário.
Ângulo entre vetores
Assim que tiver o produto escalar e os módulos, o ângulo é um único arco-cosseno: cosθ = A·B/(|A||B|), com θ em [0, π]. Um produto escalar pequeno em relação aos módulos significa vetores quase perpendiculares; um produto escalar igual a |A||B| significa que os vetores apontam no mesmo sentido (θ = 0); um produto escalar igual a −|A||B| significa opostos (θ = π). A fórmula é a mesma em 2D e 3D — só muda a dimensão das somas das componentes. Geometricamente, o produto escalar pode ver-se como a projeção de A sobre B (ou de B sobre A), multiplicada pelo módulo do outro, pelo que o cosseno é literalmente a razão de projeção.
Vetor unitário e projeção
Um vetor unitário é um vetor de módulo 1, com a mesma direção do original: u = A / |A|. Os vetores unitários são a forma de descrever a "direção pura"; os vetores de base i, j, k das coordenadas cartesianas são os exemplos canónicos, e qualquer direção em 3D pode escrever-se como combinação linear deles. A projeção de A sobre B (ou a componente de A ao longo de B) é projBA = (A·B / |B|²) · B — a parte de A que está ao longo de B. A versão escalar (A·B/|B|) é o comprimento com sinal dessa projeção. É isto que faz do produto escalar a fórmula do trabalho: a componente do deslocamento ao longo da força, vezes o módulo da força, é o trabalho realizado.
Ideias erradas
- O produto escalar é a multiplicação de vetores. É o produto escalar — produz um número, não um vetor. Da mesma forma, o produto vetorial é o produto vetorial. Chamar-lhes "multiplicação" esconde que têm saídas completamente diferentes.
- O produto vetorial é um escalar. Em 2D, a componente perpendicular é por vezes chamada escalar (o determinante axby − aybx), mas em 3D o produto vetorial é de facto um vetor. O módulo e a direção têm ambos significado físico.
- O produto vetorial é comutativo. É anticomutativo: A×B = −B×A. A ordem importa — o binário r×F tem o sentido oposto de F×r.
- Um vetor tem uma localização fixa. Os vetores são livres — pode deslocá-los pela página sem os alterar. O que é fixo é o seu módulo e a sua direção; apenas alguns vetores específicos na física (vetores de posição, campo elétrico num ponto) estão ligados a uma localização.
Ferramentas relacionadas: Mecânica para binário, trabalho e momento angular em contexto, Dinâmica rotacional para ver como o produto vetorial constrói o momento angular, e Circuitos para a força magnética F = qv×B.
