O que é a astrofísica?
A astrofísica é a parte da física que usa a gravidade e o movimento como linguagem de funcionamento de tudo, de uma lua a uma galáxia. Seis calculadoras neste painel respondem às seis perguntas recorrentes que se podem fazer sobre qualquer corpo ou trajetória: com que velocidade tenho de lançar algo para sair do sistema? Com que velocidade para o orbitar? Quanto tempo demora uma órbita? Quão pequena teria de ficar a mesma massa para se tornar um buraco negro? Quanto Δv ganha um foguetão por fração de combustível? E a que distância está uma galáxia cuja luz sofre desvio para o vermelho? Tudo o resto — distâncias medidas por paralaxe contra a base orbital da Terra de uma unidade astronómica (UA = 1,496×1011 m), magnitudes como ordenação logarítmica do brilho, desvio para o vermelho z ≈ v/c como versão de baixa velocidade da lei de Hubble — assenta na mesma estrutura newtoniana e relativista.
Duas fórmulas de Newton sustentam quase tudo aqui: a velocidade de escape v_e = √(2GM/R) e a órbita circular v_o = √(GM/r). A sua razão é exatamente √2; a sua álgebra generaliza-se a todos os problemas de força central, dos satélites aos aglomerados globulares.
Velocidade de escape — sair do poço
Cada corpo de massa M e raio R cria um poço de energia potencial de profundidade GM/R por unidade de massa. Para subir à superfície é preciso energia cinética pelo menos igual a essa profundidade, o que dá a velocidade de escape. Introduzindo a Terra: M = 5,972×1024 kg, R = 6,371×106 m — o painel devolve v_e ≈ 11 186 m/s (11,19 km/s, cerca de Mach 33). Marte fica em ≈ 5,03 km/s, a Lua em 2,38 km/s, Júpiter em 60 km/s (onde o hidrogénio é um mau propulsor, mas a matemática é a mesma) e o Sol em 618 km/s. Nota: a fórmula assume ausência de arrasto atmosférico e de propulsão adicional; o número real para qualquer foguetão inclui perdas aerodinâmicas, o arrasto gravitacional durante a subida e perdas de direção. É também a velocidade partindo do repouso à superfície; um objeto já em órbita precisa de um Δv menor para escapar a partir da sua altitude, nunca do valor total da superfície. A mesma escala define o peso à superfície: em Marte (g = 3,71 m/s²) um astronauta de 70 kg pesa 260 N — massa inalterada, peso a seguir a gravidade local.
Velocidade orbital — ficar no poço
Uma órbita circular estável equilibra a aceleração centrípeta com a gravidade: vo = √(GM/r). A predefinição da Terra no painel, com r = 7×106 m (cerca de 629 km de altitude — território da ISS), dá vo ≈ 7 546 m/s e um período de 5 829 s (~1,62 horas). A ISS real está a cerca de 408 km e orbita em ~92,7 minutos; a altitude do painel é um número ilustrativo, não um horário de voo. A relação também dá a fuga — multiplique vo por √2 para obter ve à mesma altitude. A velocidade orbital é independente da massa orbitante; uma pena e um couraçado na mesma órbita movem-se à mesma velocidade (no vácuo), e é por isso que a mecânica orbital trata os satélites como partículas pontuais.
Terceira lei de Kepler — tempo e distância
T2 = (4π2/GM) · a3 liga o período orbital ao semieixo maior. A predefinição Sol-Terra do painel (M = 1,989×1030 kg, a = 1,496×1011 m = 1 UA por definição) dá T ≈ 365,21 dias, exatamente a duração do nosso ano. Resolver ao contrário — dado um período em segundos, calcular a — é como os astrónomos medem o semieixo maior de qualquer satélite cujo período possam cronometrar. A mesma base de 1 UA é também a definição do parsec: uma estrela que mostre 1 segundo de arco de paralaxe, à medida que a Terra percorre 2 UA, está exatamente a 1 parsec = 3,26 anos-luz — e 1 parsec = 206 265 UA. Os quilómetros e os anos-luz tornam-se ingeríveis às escalas interestelares; o parsec e a UA são as unidades de trabalho.
Raio de Schwarzschild — o horizonte de eventos
Se comprimir a massa M abaixo do seu raio de Schwarzschild Rs = 2GM/c2, nenhum sinal vindo de dentro consegue sair: é o horizonte de um buraco negro não rotativo. Os números são surpreendentemente pequenos para massas comuns: o Rs da Terra é cerca de 8,87 mm — menor que uma bola de gude; o do Sol é cerca de 2,95 km. Para colapsar qualquer um deles seriam necessárias densidades que nenhum estado conhecido da matéria fornece. Os buracos negros reais formam-se na morte estelar, onde 14,76 km para um resto de 5 M⊙ (a predefinição "BH pequeno" do painel) é a ordem de grandeza certa para objetos do tipo Cygnus X-1, enquanto um buraco negro supermassivo de 4×106 M⊙, como o Sagitário A* no centro da nossa galáxia, tem Rs ≈ 1,18×1010 m (cerca de 17% da órbita de Mercúrio). O raio de Schwarzschild é uma previsão de coordenadas da relatividade geral; o horizonte real de um buraco negro rotativo (Kerr) é diferente e pode ser menor.
Equação do foguetão de Tsiolkovsky — o custo de se mover
A conservação do momento para um foguetão que expele gases para trás à velocidade ve, com razão de massas m0/mf, dá Δv = ve · ln(m0/mf). O exemplo carregável do painel (ve = 3000 m/s, m0 = 500 000 kg, mf = 50 000 kg) dá Δv ≈ 6 907,76 m/s para uma razão de massas de 10 e uma fração de propulsor de 90%. A equação é brutalmente logarítmica: duplicar o propulsor acrescenta ve·ln(2) de Δv, nunca o duplica. A órbita terrestre baixa precisa de cerca de 9,4 km/s de Δv no total; a transferência para a órbita geoestacionária cerca de 11,5 km/s; a transferência lunar cerca de 12,5 km/s — a razão por que os foguetões têm vários andares, por que os andares superiores são frações minúsculas da massa de lançamento, e por que a órbita com um só andar continua a ser teimosamente difícil.
Distância de Hubble — a escada de recessão
A observação de Edwin Hubble, em 1929, de que as galáxias se afastam com uma velocidade proporcional à distância, dá d = v/H0. Com H0 = 70 km/s/Mpc do painel, uma galáxia com v = 1 000 km/s está a d ≈ 14,286 Mpc ≈ 4,66×107 anos-luz. Para galáxias próximas a velocidade de recessão é uma pequena fração de c, pelo que z ≈ v/c ≈ 3,34×10-3; a lei linear de Hubble é então um caso especial da recessão cosmológica num universo em expansão. A relação deixa de valer a desvios para o vermelho elevados (z > 0,1), onde o modelo cosmológico completo toma o controlo — por isso o aviso na caixa informativa diz que a fórmula é para galáxias "relativamente próximas"; a mesma reserva se aplica a usar ve ou vo perto da velocidade da luz (as correções relativistas contam). A escada de distâncias de Hubble — da paralaxe às variáveis Cefeidas, às supernovas do tipo Ia e ao fluxo de Hubble — é o que calibra o próprio H0, e a atual tensão do H0 entre os valores locais e os inferidos a partir do CMB continua a ser um dos problemas abertos da cosmologia.
Ideias erradas comuns
- A velocidade de escape é uma velocidade de lançamento a partir do solo. É a velocidade partindo do repouso, no raio dado, sem mais propulsão; um foguetão que sobe com baixo impulso constante durante horas não precisa de atingir ve em instante nenhum.
- Os buracos negros sugam as coisas como aspiradores. O raio do horizonte é definido pela massa central, não pelo objeto que está a ser "puxado". A r » Rs, a gravidade é apenas a de Newton; só muito perto do horizonte se torna inescapável. O Sol, se fosse um buraco negro da mesma massa, não alteraria de todo a órbita da Terra.
- Mais propulsor significa proporcionalmente mais Δv. A equação de Tsiolkovsky é logarítmica: duplicar o propulsor acrescenta ve·ln(2), não duplica o Δv. Este é o número mais importante na engenharia de foguetões.
- A paralaxe mede o tamanho das estrelas. A paralaxe mede a distância, pela mesma triangulação geométrica que os topógrafos usam — quanto maior a base, maior o alcance. A base de 2 UA da órbita anual da Terra torna o parsec uma unidade natural.
Ferramentas relacionadas: Mecânica para a cinemática subjacente, Física moderna para os efeitos relativistas a alta velocidade, e a Calculadora para a maquinaria algébrica que executa as fórmulas acima.
