Fiecare măsurătoare este un număr cu un însoțitor onest: cât de încrezători putem fi? Acest însoțitor are două părți — o eroare aleatoare, pe care repetarea măsurătorii o mediază, și o eroare sistematică, o părtinire care persistă oricât de des măsori. Raportul onest al oricărei mărimi este deci x ± u(x), unde u este o incertitudine bine definită; simbolul ± este prescurtarea pentru „aproximativ acest interval, cu această probabilitate”. Cele patru calculatoare din acest panou acoperă uneltele de lucru: numărarea cifrelor semnificative (scurtătura contabilității), propagarea incertitudinilor prin sume, diferențe, produse, cât și puteri (calculul greșelilor), abaterea standard (cât de împrăștiate sunt datele) și incertitudinea combinată în stil GUM a mai multor componente independente.
Două tipuri de eroare, două comportamente opuse: eroarea aleatoare scade cu rădăcina pătrată a lui N (σ/√N), deci mediera câștigă mereu; eroarea sistematică nu scade deloc, de aceea calibrarea contează mai mult decât repetarea. O măsurătoare poate avea un σ foarte mic și totuși să fie greșită din cauza unei părtiniri (bias).
Cifrele semnificative — scurtătura contabilității
O cifră semnificativă este o cifră cunoscută cu încredere; zerourile care completează un număr până la o convenție de mărime nu sunt. Cinci reguli: (1) toate cifrele nenule sunt semnificative, (2) zerourile dintre cifre nenule sunt semnificative, (3) zerourile de la început nu sunt semnificative (doar plasează virgula), (4) zerourile de la sfârșit după virgulă sunt semnificative, (5) zerourile de la sfârșit fără virgulă sunt ambigue (se folosește notația științifică). Valoarea implicită 0,0070800 are deci 5 cifre semnificative (7, 0, 8, 0, 0) și se citește ca (7,0800 ± 0,00005)×10−3. A raporta 0,0070800 implică aceeași precizie ca 7,0800×10−3; a raporta 0,00708 implică o precizie de o mie de ori mai mică. Scurtătura funcționează pentru rapoartele de manual; pentru o măsurătoare reală, incertitudinea u este numărul onest, iar cifrele semnificative sunt un mod convenabil de a o exprima fără a scrie ± de fiecare dată.
Propagarea erorilor — calculul greșelilor
Pentru z = f(x, y), regula de combinare a incertitudinilor independente este σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². Pentru cele patru operații de lucru, aceasta se reduce la: adunare/scădere adună erorile absolute în sumă pătratică σz = √(σx² + σy²); înmulțire/împărțire adună erorile relative în sumă pătratică σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²); puterea xn scalează eroarea relativă cu |n|: σz/z = |n|σx/x. Eșantionul implicit (x = 10 ± 0,3, y = 5 ± 0,2, adunare) dă z = 15 și σz ≈ 0,36, adică 15,00 ± 0,36 (aproximativ 2,4% relativ). Trecând la înmulțire cu aceleași date se obține z = 50 ± 2,5 (5% relativ) — aceleași valori ±, dar o regulă de propagare foarte diferită, iar incertitudinea relativă a produsului este egală cu suma pătratică a incertitudinilor relative. Incertitudinile absolute sunt moneda potrivită pentru sume/diferențe; cele relative pentru produse/cituri.
Abaterea standard — împrăștierea datelor
Abaterea standard σ este abaterea pătratică medie față de medie. Există două versiuni, în funcție de ce reprezintă datele: σ al populației = √(Σ(xi − x̄)² / n) descrie împrăștierea fiecărui membru al unui set cunoscut; s al eșantionului = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) estimează împrăștierea populației mai mari din care a fost extras eșantionul. Eșantionul implicit (10 valori de la 12,2 la 12,8, cu media 12,5) dă σ al populației ≈ 0,1732, s al eșantionului ≈ 0,1826 și SEM = s/√N ≈ 0,0577. Incertitudinea mediei în sine este σ/√N (sau s/√N pentru versiunea din eșantion), de aceea mediera a 25 de măsurători ale aceleiași mărimi reduce incertitudinea de cinci ori față de o singură măsurătoare. Abaterea standard alimentează și intervalele de încredere: pentru o distribuție normală, ±1σ conține 68,3%, ±2σ 95,5%, ±3σ 99,7%.
Incertitudinea extinsă — combinarea tuturor surselor
Atunci când o măsurătoare are mai multe surse independente de eroare (rezoluția instrumentului, calibrarea, repetabilitatea, deriva termică, efectul operatorului), incertitudinea combinată în stil GUM este uc = √(Σui²). Sursele se clasifică în tip A (statistice, din date) și tip B (toate celelalte, cu incertitudini estimate prin judecată sau specificația producătorului); ambele intră în uc la fel. Un factor de acoperire k scalează apoi intervalul la nivelul de încredere ales: k = 1 pentru 68,3%, k = 2 pentru 95,5%, k = 2,58 pentru 99,0%, k = 3 pentru 99,7%. Eșantionul implicit (surse de 0,15, 0,08, 0,05, 0,03 mm, k = 2) dă uc ≈ 0,1797 mm și U = k·uc ≈ 0,3595 mm la 95,5%. Valoarea raportată devine (măsurătoarea ± 0,36) mm cu acea încredere. GUM (ISO/IEC Guide 98-3) este standardul internațional pentru procedură. Componentele de tip A provin din statistica citirilor repetate, cele de tip B din specificațiile instrumentului și din judecată — ambele se combină prin aceeași sumă pătratică.
Concepții greșite frecvente
- Mai multe cifre semnificative înseamnă o măsurătoare mai exactă. Doar dacă acele cifre provin cu adevărat din măsurătoare. O lungime „12,34567 m” scrisă de mână nu are o precizie de 1 din 10 milioane — cifrele semnificative sunt un mod de a comunica precizia, nu de a o inventa. Raportarea cu ± este mai onestă decât umplerea cu cifre inventate.
- Eroarea sistematică poate fi redusă prin mediere. Dimpotrivă: erorile aleatoare se mediază cu 1/√N, dar o părtinire sistematică (o cântărire descalibrată, un zero decentrat) rămâne neschimbată, oricâte măsurători faci. Se identifică și se corectează părtinirea. Aceasta este capcana „datele arată atât de reproductibile!” dintr-un experiment defect.
- Abaterea standard spune ceva despre eroarea unei singure măsurători. Ea caracterizează împrăștierea distribuției, nu eroarea unei singure încercări. Eroarea standard a mediei (s/√N) este mărimea relevantă atunci când se raportează cât de bine se cunoaște x̄ dintr-un eșantion de N.
- Incertitudinea este întotdeauna ± la ultima cifră. Convenția standard este „se rotunjește incertitudinea la o cifră (uneori două) semnificative, apoi se rotunjește valoarea în consecință”. O măsurătoare de 12,345678 ± 0,234 se raportează ca 12,35 ± 0,23, nu ca 12,345678 ± 0,234.
Instrumente conexe: Statistică pentru distribuțiile de probabilitate de bază, Mecanică pentru configurațiile experimentale care produc cifrele și Calculator pentru algebra propagării.
