Calculator de astrofizică

Astrofizica este partea fizicii care folosește gravitația și mișcarea drept limbaj de lucru pentru tot, de la o lună până la o galaxie. Șase calculatoare din acest panou răspund la șase întrebări recurente care se pot pune oricărui corp sau traiectorii: cât de repede trebuie aruncat ceva ca să părăsească sistemul? Cu ce viteză să-l ocolești pe orbită? Cât durează o orbită? Cât de mic ar trebui să se prăbușească aceeași masă ca să devină gaură neagră? Cât delta-v câștigă o rachetă pentru fiecare fracțiune de combustibil? Și cât de departe este o galaxie al cărei lumină se deplasează spre roșu? Tot restul — distanțele măsurate prin paralaxă față de baza orbitală a Pământului de o unitate astronomică (UA = 1,496×10¹¹ m), magnitudinile ca ierarhie logaritmică a strălucirii, deplasarea spre roșu z ≈ v/c ca versiune la viteze mici a legii lui Hubble — se sprijină pe același schelet newtonian și relativist.

Orice corp de masă M și rază R creează o fântână de energie potențială cu adâncimea GM/R pe unitate de masă. Pentru a ieși de la suprafață este nevoie de energie cinetică cel puțin egală cu această adâncime, ceea ce dă viteza de evadare. Pentru Pământ: M = 5,972×10²⁴ kg, R = 6,371×10⁶ m — panoul returnează v_e ≈ 11.186 m/s (11,19 km/s, aproximativ Mach 33). Marte are ≈ 5,03 km/s, Luna 2,38 km/s, Jupiter 60 km/s (unde hidrogenul este un propulsor slab, dar calculul este același), iar Soarele 618 km/s. Notă: formula presupune lipsa frânării atmosferice și a propulsiei suplimentare; cifra reală pentru orice rachetă include pierderile aerodinamice, frânarea gravitațională în timpul urcării și pierderile de direcționare. Este, de asemenea, viteza de la repaus la suprafață; un obiect deja pe orbită are nevoie de un Δv mai mic pentru a evada de la altitudinea sa, nu de valoarea completă de la suprafață. Aceeași scalare stabilește și greutatea de la suprafață: pe Marte (g = 3,71 m/s²) un astronaut de 70 kg cântărește 260 N — masa rămâne aceeași, greutatea urmează gravitația locală.

O orbită circulară stabilă echilibrează accelerația centripetă cu gravitația: v_o = √(GM/r). Presetarea implicită a Pământului din panou, cu r = 7×10⁶ m (aproximativ 629 km altitudine — teritoriul ISS), dă v_o ≈ 7.546 m/s și o perioadă de 5.829 s (~1,62 ore). ISS-ul real se află la ~408 km și face o orbită în ~92,7 minute; altitudinea din panou este un număr ilustrativ, nu un program de zbor. Relația mai dă și evadarea — se înmulțește v_o cu √2 pentru a obține v_e la aceeași altitudine. Viteza orbitală nu depinde de masa aflată pe orbită; o pană și o navă de luptă aflate pe aceeași orbită se deplasează cu aceeași viteză (în vid), motiv pentru care mecanica orbitală tratează sateliții drept particule punctiforme.

T² = (4π²/GM) · a³ leagă perioada orbitală de semiaxa mare. Presetarea Soare-Pământ din panou (M = 1,989×10³⁰ kg, a = 1,496×10¹¹ m = 1 UA prin definiție) dă T ≈ 365,21 zile, chiar lungimea anului terestru. Rezolvarea în sens invers — dându-se o perioadă în secunde, se calculează a — este modul în care astronomii măsoară semiaxa mare a oricărui satelit a cărui perioadă o pot cronometra. Aceeași bază de 1 UA este și definiția parsecului: o stea care arată un deplasament de paralaxă de 1 secundă de arc față de fundal, pe măsură ce Pământul parcurge 2 UA, se află exact la 1 parsec = 3,26 ani-lumină — iar 1 parsec = 206.265 UA. Kilometrii și anii-lumină devin greu de gestionat la scări interstelare; parsecii și UA sunt unitățile de lucru.

Dacă masa M este comprimată sub raza sa Schwarzschild R_s = 2GM/c², niciun semnal din interior nu poate ieși: este orizontul unei găuri negre nerotative. Cifrele sunt surprinzător de mici pentru mase obișnuite: R_s a Pământului este de aproximativ 8,87 mm — mai mic decât o bilă; cea a Soarelui este de aproximativ 2,95 km. Pentru a prăbuși oricare dintre ele ar fi nevoie de densități pe care nicio stare cunoscută a materiei nu le oferă. Găurile negre reale se formează la moartea stelelor, unde 14,76 km pentru un rest de 5 M_⊙ (presetarea „gaură neagră mică” din panou) este ordinul de mărime potrivit pentru obiectele de tipul Cygnus X-1, în timp ce o gaură neagră supermasivă de 4×10⁶ M_⊙, ca Sagittarius A* din centrul Căii Lactee, are R_s ≈ 1,18×10¹⁰ m (aproximativ 17% din orbita lui Mercur). Raza Schwarzschild este o predicție de coordonate a relativității generale; orizontul real al unei găuri negre rotative (Kerr) diferă și poate fi mai mic.

Conservarea impulsului pentru o rachetă care emite gazele de eșapament înapoi cu viteza v_e, cu raportul de masă m₀/m_f, dă Δv = v_e · ln(m₀/m_f). Exemplul încărcabil din panou (v_e = 3000 m/s, m₀ = 500.000 kg, m_f = 50.000 kg) dă Δv ≈ 6.907,76 m/s pentru un raport de masă de 10 și o fracție de combustibil de 90%. Ecuația este brutal de logaritmică: dublarea combustibilului adaugă v_e·ln(2) la Δv, nu îl dublează niciodată. Orbita joasă a Pământului necesită în total aproximativ 9,4 km/s de Δv; transferul pe orbita geostaționară aproximativ 11,5 km/s; transferul lunar aproximativ 12,5 km/s — motivul pentru care rachetele se etapizează, de ce treptele superioare sunt fracțiuni mici din masa de lansare și de ce lansarea într-o singură treaptă pe orbită rămâne încăpățânat de dificilă.

Observația lui Edwin Hubble din 1929, potrivit căreia galaxiile se depărtează cu o viteză proporțională cu distanța, dă d = v/H₀. Cu H₀ = 70 km/s/Mpc din panou, o galaxie cu v = 1.000 km/s se află la d ≈ 14,286 Mpc ≈ 4,66×10⁷ ani-lumină. Pentru galaxiile apropiate, viteza de recesiune este o fracțiune mică din c, deci z ≈ v/c ≈ 3,34×10^-3; legea liniară a lui Hubble este atunci un caz particular al recesiunii cosmologice într-un univers în expansiune. Relația se rupe la deplasări spre roșu mari (z > 0,1), unde intră în joc modelul cosmologic complet; de aceea caseta informativă avertizează că formula este pentru galaxii „relativ apropiate” — aceeași rezervă se aplică la folosirea lui v_e sau v_o aproape de viteza luminii (corecțiile relativiste contează). Scara de distanțe Hubble — de la paralaxă la variabilele Cefeide, la supernovele de tip Ia și până la fluxul Hubble — este cea care calibrează chiar H₀, iar tensiunea actuală a lui H₀ dintre valorile locale și cele deduse din CMB rămâne una dintre problemele deschise ale cosmologiei.

• Viteza de evadare este o viteză de lansare de la sol. Este viteza de la repaus, la raza dată, fără nicio propulsie suplimentară; o rachetă care urcă la tracțiune mică constantă timp de ore nu trebuie să atingă v_e la niciun moment.
• Găurile negre atrag lucrurile ca niște aspiratoare. Raza orizontului este stabilită de masa centrală, nu de obiectul „atras”. La r » R_s, gravitația este pur newtoniană; doar foarte aproape de orizont devine inevitabilă. Soarele, dacă ar fi o gaură neagră de aceeași masă, nu ar schimba deloc orbita Pământului.
• Mai mult combustibil înseamnă proporțional mai mult Δv. Ecuația lui Țiolkovski este logaritmică: dublarea combustibilului adaugă v_e·ln(2), nu dublează delta-v. Acesta este cel mai important număr în ingineria rachetelor.
• Paralaxa măsoară dimensiunea stelelor. Paralaxa măsoară distanța, prin aceeași triangulație geometrică pe care o folosesc topografii — cu cât baza este mai mare, cu atât raza de măsurare este mai mare. Baza de 2 UA dată de orbita anuală a Pământului face parsecul o unitate firească.

Instrumente conexe: Mecanica pentru cinematica de bază, Fizica modernă pentru efectele relativiste la viteze mari și Calculatorul pentru aparatul algebric care rulează formulele de mai sus.