Trei produse acoperă tot ce este necesar: produsul scalar (un scalar care măsoară alinierea, A·B = |A||B|cosθ), produsul vectorial (un vector perpendicular pe ambii factori, de mărime |A||B|sinθ) și operatorul de proiecție (componenta lui A după o direcție aleasă). Ele reprezintă contabilitatea fiecărei formule din fizică ce implică mai mulți vectori.
Mărimea și exemplul canonic 2D
Triunghiul dreptunghic 3-4-5 este exemplul canonic pentru vectorii 2D. Să luăm A = (3, 4). Mărimea sa este |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Direcția sa față de axa +x este arctan(4/3) ≈ 53,13°. Orice vector 2D poate fi scris ca o mărime înmulțită cu un vector unitar orientat pe direcția respectivă: A = 5·(0,6; 0,8). Panoul de descompunere primește o mărime și unghiurile θ și φ și returnează componentele x, y, z în oricare convenție sferică (x = r cosθ cosφ, y = r cosθ sinφ, z = r sinθ) sau plană (cu φ ignorat, x = r cosθ, y = r sinθ). Pentru r = 10, θ = 36,87° în modul 2D returnează (8, 6, 0) — triunghiul dreptunghic 6-8-10, scalat din cel original 3-4-5. Recunoașterea acestor triunghiuri întregi este scurtătura pentru a identifica ce componente sunt perpendiculare fără a invoca trigonometria.
Produsul scalar — măsura scalară a alinierii
Pentru doi vectori A și B, produsul scalar A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz) este un scalar egal cu |A||B|cosθ — adică produsul mărimilor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele. Eșantionul implicit 2D (A = (3, 4), B = (5, 2)) dă A·B = 15 + 8 = 23, mărimile |A| = 5 și |B| = √29 ≈ 5,385, iar cosθ = 23/(5 × 5,385) = 23/26,93 ≈ 0,854, deci θ ≈ 31,33°. Trei consecințe de semn poartă toată interpretarea: cosθ > 0 înseamnă unghi ascuțit și vectorii au în general același sens; cosθ < 0 înseamnă unghi obtuz și vectori opuși; cosθ = 0 înseamnă perpendicularitate. Produsul scalar este lucrul mecanic al unei forțe F de-a lungul deplasării d (W = F·d), iar cosinusul explică de ce împingerea sub un unghi este mai puțin eficientă decât împingerea pe linia mișcării.
Produsul vectorial — vector perpendicular pe ambii factori
Produsul vectorial este o operație exclusiv 3D al cărei rezultat este un vector perpendicular pe ambii factori, cu mărimea |A||B|sinθ și direcția stabilită prin regula mâinii drepte (indexul pe A, degetul mijlociu pe B, degetul mare dă A×B). Pe componente, A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx). Eșantionul implicit 3D (A = (2, 3, 4), B = (5, 1, 2)) dă A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13). Produsul vectorial este antisimetric: B×A = −A×B, deci schimbarea factorilor inversează semnul. Trei apariții în fizică: momentul de torsiune τ = r×F (forța de rotație), momentul cinetic L = r×p (momentul cinetic orbital) și forța magnetică F = qv×B asupra unei sarcini în mișcare. Mărimea |A×B| este egală cu aria paralelogramului generat de cei doi vectori, de aceea rezultatele produsului vectorial descriu întotdeauna arie sau rotație. Momentul de torsiune este produsul vectorial în acțiune: τ = r×F are mărimea |r||F|sinθ, deci o împingere care trece prin pivot dă zero, iar o cheie mai lungă dă mai mult.
Unghiul dintre vectori
Odată ce se cunosc produsul scalar și mărimile, unghiul este un singur arccosinus: cosθ = A·B/(|A||B|), cu θ în [0, π]. Un produs scalar mic față de mărimi înseamnă vectori aproape perpendiculari; un produs scalar egal cu |A||B| înseamnă că vectorii au același sens (θ = 0); un produs scalar egal cu −|A||B| înseamnă opuși (θ = π). Formula este aceeași în 2D și 3D — diferă doar dimensiunea sumelor de componente. Geometric, produsul scalar poate fi privit ca proiecție a lui A pe B (sau a lui B pe A), înmulțită cu mărimea celuilalt, deci cosinusul este literalmente raportul de proiecție.
Vectorul unitar și proiecția
Un vector unitar este un vector de mărime 1, orientat în același sens ca originalul: u = A / |A|. Vectorii unitari sunt modul în care se descrie „direcția pură”; vectorii de bază i, j, k ai coordonatelor carteziene sunt exemplele canonice, iar orice direcție în 3D poate fi scrisă ca o combinație liniară a lor. Proiecția lui A pe B (sau componenta lui A după B) este projBA = (A·B / |B|²) · B — partea din A care se află după B. Versiunea scalară (A·B/|B|) este lungimea cu semn a acelei proiecții. Acesta este lucrul care face din produsul scalar formula lucrului mecanic: componenta deplasării după forță, înmulțită cu mărimea forței, este lucrul mecanic efectuat.
Concepții greșite
- Produsul scalar este înmulțirea vectorilor. Este produsul scalar — produce un număr, nu un vector. Similar, produsul vectorial este produsul vectorial. A le numi „înmulțire” ascunde faptul că rezultatele lor sunt complet diferite.
- Produsul vectorial este un scalar. În 2D, componenta perpendiculară este uneori numită scalar (determinantul axby − aybx), dar în 3D produsul vectorial este într-adevăr un vector. Mărimea și direcția au amândouă sens fizic.
- Produsul vectorial este comutativ. Este anticomutativ: A×B = −B×A. Ordinea contează — momentul r×F are sens opus față de F×r.
- Un vector are o locație fixă. Vectorii sunt liberi — se pot muta pe pagină fără să se schimbe. Ceea ce este fix sunt mărimea și direcția; doar unii vectori din fizică (vectori de poziție, câmpul electric într-un punct) se leagă de o locație.
Instrumente conexe: Mecanica pentru momentul de torsiune, lucrul mecanic și momentul cinetic în context, Dinamica rotațională pentru modul în care produsul vectorial construiește momentul cinetic și Circuite pentru forța magnetică F = qv×B.
