Calculator de unde și oscilații

Oscilațiile și undele sunt aceeași fizică de bază, îmbrăcată în costume diferite. O oscilație este orice mișcare înainte și înapoi în jurul unei poziții de echilibru — o masă pe arc, bila unui pendul, o tensiune pe un condensator, înălțimea unei corzi de chitară, presiunea dintr-o undă sonoră. O undă este o oscilație care se propagă: aceeași mișcare înainte și înapoi, dar acum petrecută la un moment ușor diferit în fiecare punct al spațiului, astfel încât o instantanee arată un tipar sinusoidal care se deplasează. Ambele sunt guvernate de o singură ecuație diferențială, oscilatorul armonic simplu (MAS) x''(t) = -ω²x(t), a cărui soluție generală este sinusoida x(t) = A cos(ωt + φ). De aici rezultă perioada T = 2π/ω, frecvența f = ω/(2π), viteza de vârf v_max = Aω, accelerația de vârf a_max = Aω². Șase panouri de pe această pagină acoperă cazurile canonice: MAS în sine, pendulul ca ceas, ecuația undei v = fλ pentru undele progresive, deplasarea Doppler când se mișcă sursa sau observatorul, rezonanța LC ca analog electric al unei mase pe arc și frecvența de bătăi când două tonuri apropiate interferează.

MAS este orice mișcare în care forța de revenire (sau momentul, sau tensiunea, sau diferența de presiune) este proporțională cu deplasarea față de echilibru. Masa pe arc este cazul din manual: F = -kx produce x'' = -(k/m)x, deci ω = √(k/m). Poziția la orice moment este x(t) = A cos(ωt + φ), viteza v(t) = -Aω sin(ωt + φ), accelerația a(t) = -Aω² cos(ωt + φ). Cu eșantionul (A = 0,1 m, ω = 6,28 rad/s), T = 2π/ω ≈ 1,0005 s, f = ω/(2π) ≈ 0,9995 Hz, v_max = Aω = 0,628 m/s, a_max = Aω² ≈ 3,9438 m/s². Dacă se introduce și un timp t, calculatorul raportează x(t), v(t), a(t) instantanee — trei sinusoide defazate cu 90°. MAS apare în rețelele atomice (unde modelează fononii), în circuitele de curent alternativ (unde tensiunea și curentul oscilează sinusoidal la ω = 2πf) și în orice vibrație mică în jurul echilibrului.

Un pendul de lungime L care se balansează sub gravitația g, la unghiuri mici (θ < ~15°), satisface ecuația MAS cu ω = √(g/L). Perioada este celebra T = 2π√(L/g), pe care Galileo a observat-o prima dată ca fiind independentă de masa bilei și de cât de departe o balansezi. Cu L = 1 m și g = 9,81 m/s² (Pământ), T ≈ 2,006 s, canonicul „pendul de secundă” care a dat metrului definiția inițială (semiperioada = 1 s). Pe Lună, cu g = 1,62 m/s², același pendul de 1 m durează T ≈ 4,94 s; pe Marte (g = 3,72 m/s²), T ≈ 3,26 s. Peste o amplitudine de ~15°, aproximarea unghiurilor mici începe să se abată și intră un termen de corecție, de aceea un ceas cu pendul real folosește un pendul lung și lent (amplitudine mică) în loc unul scurt și rapid. Masa bilei se simplifică în √(g/L): bile grele și ușoare pe aceeași sfoară au perioade identice.

Fiecare undă progresivă, fie ea sunet, lumină, apă sau seismică, respectă aceeași relație fundamentală: v = fλ — viteza undei este egală cu frecvența înmulțită cu lungimea de undă. Cele trei moduri de aici rezolvă orice necunoscută dacă se cunosc celelalte două. Eșantionul (f = 440 Hz, λ = 0,78 m) dă v = 343,2 m/s — exact viteza sunetului în aer la 20°C. Trei viteze de referință ancorează ordinele de mărime: sunetul în aer ~343 m/s, sunetul în apă ~1480 m/s, lumina în vid c = 3×10⁸ m/s. Pentru a trece unda dintr-un mediu în altul se folosește legea lui Snell (tratată pe pagina de optică) pentru refracție, dar în interiorul unui singur mediu omogen v este stabilită de proprietățile mediului (densitate și rigiditate pentru sunet, permitivitate și permeabilitate pentru lumină).

Efectul Doppler este schimbarea frecvenței observate atunci când sursa și observatorul se mișcă unul față de celălalt. Formula clasică este f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s), unde semnul de sus de la numărător se alege când observatorul se apropie de sursă (aude un ton mai înalt), iar semnul de jos de la numitor când sursa se apropie de observator (tot aude un ton mai înalt). Eșantionul (f = 1000 Hz, v = 343 m/s, sursă staționară, observator care se apropie de sursă cu 30 m/s): f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087,46 Hz, o deplasare de +87,46 Hz sau +8,75%. Aceeași sursă de 30 m/s care se apropie de un ascultător staționar dă același răspuns (formula este simetrică). La viteze mari intervine corecția relativistă; pentru un pistol radar care măsoară o mașină la 30 m/s, factorul γ diferă de 1 cu doar ~5×10⁻¹⁷, de aceea formula clasică este suficientă pentru sunet, dar lumina necesită versiunea relativistă.

Un circuit LC (bobină L în paralel cu condensatorul C) este analogul electric al masei pe arc: sarcina joacă rolul deplasării, curentul rolul vitezei, inductanța L rolul masei, iar 1/C rolul rigidității arcului. Sarcina oscilează cu ω = 1/√(LC), echivalent f = 1/(2π√(LC)). Eșantionul (L = 100 mH, C = 10 μF) dă LC = 1×10⁻⁶, √(LC) = 1×10⁻³, deci f ≈ 159,15 Hz cu frecvența unghiulară ω ≈ 1000 rad/s și perioada T ≈ 6,28×10⁻³ s. Circuitele LC reale au și rezistență, care face ca oscilația să se stingă — rata aceasta de stingere este cea pe care o minimizează acordorul unui radio AM pentru a alege clar o stație. Adăugarea unei surse excitatoare exact la f forțează circuitul în rezonanță, cu amplitudini de tensiune și curent mult mai mari decât în afara rezonanței.

Când două tonuri de frecvențe ușor diferite sună împreună, presiunea aerului este suma a două sinusoide — care, prin trigonometrie, este egală cu un cosinus la frecvența medie f_p = (f₁ + f₂)/2, modulat de o anvelopă lentă la f_bătăi = |f₁ − f₂|. Urechea aude înălțimea medie crescând și scăzând la rata bătăilor. Eșantionul (f₁ = 440 Hz, f₂ = 445 Hz) dă f_bătăi = 5 Hz, f_p = 442,5 Hz, perioada bătăilor = 0,2 s — o pulsație clar audibilă de 5 ori pe secundă. Sub ~10 Hz, bătăile se aud ca pulsuri distincte; peste ~30 Hz se contopesc într-o asprime sau un tremolo. Acordorii de pian exploatează asta: lovesc un ton de referință și coarda care se reglează, ascultă bătăile și ajustează până dispar. Odată ce corzile sunt perfect acordate, f_bătăi = 0 și calculatorul afișează „Frecvențe identice — fără bătăi”.

• Perioada și frecvența nu sunt același lucru. T (secunde pe ciclu) și f (cicluri pe secundă) sunt inverse. T = 1/f. O oscilație de 0,5 Hz durează 2 secunde pentru un ciclu complet.
• Perioada pendulului depinde slab de amplitudine. Perioada exactă pentru amplitudine finită θ₀ este T = T₀·(1 + θ₀²/16 + πθ₀⁶/…). Pentru 15° aceasta este o corecție de 0,7%, pentru 30° de aproximativ 1,7% — de obicei ignorată în problemele introductive.
• Deplasarea Doppler este aceeași indiferent dacă se mișcă sursa sau observatorul. Fie că sursa se apropie de un observator staționar, fie că observatorul se apropie de o sursă staționară, cu aceeași viteză, deplasarea înălțimii este identică (nerelativist).
• Rezonanța nu este același lucru cu amplitudinea maximă. Rezonanța este condiția ω_excitație = ω_natural. Cu amortizare, amplitudinea de vârf este sub valoarea neamortizată; fără amortizare, amplitudinea crește nelimitat (limitată doar de neliniaritate).

Instrumente conexe: Fizică modernă pentru undele de Broglie și dualitatea undă-particulă, Electricitate și circuite pentru analiza curentului alternativ unde se află rezonanța LC și Optică și lumină pentru undele electromagnetice.