什麼是旋轉運動？
旋轉研究的是會自轉的事物——輪子、齒輪、行星、分子、颶風——的運動學與動力學。其記賬方式與直線版本幾乎逐行對應：線位移變為角位移 θ（弧度），線速度變為角速度 ω（rad/s），線加速度變為角加速度 α（rad/s²），質量變為轉動慣量 I（kg·m²），力變為力矩 τ（N·m）。牛頓第二定律取旋轉形式 τ = I·α；角動量 L = I·ω 在無外力矩時守恆，正如線動量在無外力時守恆。本面板的六個計算器覆蓋常用公式：圓周運動的向心力、角速度單位換算、力矩、常見形狀的轉動慣量、角動量與轉動動能、以及旋轉參考系中的離心慣性力。
兩條要記住的平行對應：線動量 p = mv 對應角動量 L = Iω；力 F = ma 對應力矩 τ = Iα。轉動慣量 I 扮演與質量 m 相同的角色，但它取決於形狀以及質量相對轉軸的分佈。
向心力——把路徑掰彎的內拉
任何做圓周運動的物體都在改變方向，改變方向就是加速度，就需要力——指向圓心。大小為 F = mv²/r = mω²r。預設示例（m = 1 kg、v = 10 m/s、r = 2 m）得 F = 50 N，向心加速度 50 m/s²（≈ 5 g），角速度 5 rad/s（≈ 47.75 RPM）。這個力是真實存在的——繩上的球，它是繩的張力；轉彎的車，它是輪胎與路面的摩擦；環繞的衛星，它是引力。把力撤掉（繩斷、輪胎打滑），物體沿切線飛出而不是徑向向外：你在轉彎車廂裡感到的"向外推"是旋轉參考系中的離心慣性力，不是慣性系中的向心力。
角速度——四種單位在此相遇
同一個旋轉物體可以用每分鐘轉數（RPM）、每秒弧度（rad/s，SI 單位）、每秒轉數（Hz）或每秒度數描述。預設示例（1200 RPM）換算為 ω ≈ 125.66 rad/s、7,200 deg/s 或 20 Hz，週期為每轉 0.05 s。關係式：ω = 2πf = 2π n/60（n 為 RPM）；因子 2π 把轉數換成弧度，60 把分鐘換成秒。這些單位換算在課本上不如在發動機和電機上重要——那裡 RPM 是錶盤讀數，力矩（N·m）是工作輸出。
力矩——按角度加權的槓桿
力矩是力的旋轉類比：τ = r·F·sinθ，其中 r 是力臂長度、F 是作用力、θ 是兩者夾角。預設示例（F = 50 N、r = 0.3 m、θ = 90°）得 τ = 15 N·m。sinθ 因子意味著力在 90°（垂直於杆）時最有效；沿杆方向推（θ = 0 或 180°）無論多大力都產生零力矩。這就是扳手垂直於手柄推最省力、更長手柄同樣力下力矩更大的原因——也是扳手、門把手、方向盤都比它們帶動的軸更大的原因。
轉動慣量——旋轉版的質量
轉動慣量是質量的旋轉類比，取決於質量相對軸的分佈。質量 m、半徑 R 的實心球 I = (2/5)mR²；中心軸的實心圓盤或圓柱 I = (1/2)mR²；細圓環 I = mR²；過中心的勻質杆 I = (1/12)mL²。預設示例（實心球、m = 2 kg、R = 1 m）得 I = 0.8 kg·m²。實際後果是：同質量同半徑下圓環比圓盤難轉（質量都在邊緣），空心球比實心球難轉。質量離軸越遠 I 越大——這正是花樣滑冰運動員收臂加速的原因：I 減小、ω 增大、L = Iω 保持不變。
角動量——守恆量
角動量 L = Iω，單位 kg·m²/s；轉動動能 KE = ½Iω²。預設示例（I = 5 kg·m²、ω = 10 rad/s）得 L = 50 kg·m²/s、KE = 250 J。守恆律與線動量相同：無外力矩時 L 保持不變。陀螺能一直轉，是因為摩擦（外力矩）還小；自由環繞的行星靠角動量守恆在相等時間掃過相等面積（開普勒第二定律）。合併起來這就是陀螺儀抗拒傾斜的原因：改變 L 的方向需要力矩，高速自轉的陀螺 L 太大，小力矩幾乎扳不動它。
離心力——旋轉參考系的慣性力
在旋轉參考系內，靜止的物體會感到一個向外的虛擬力，大小等於維持它做圓周運動所需的向心力，即 F = mω²r，與向心公式完全相同。預設示例（m = 0.1 kg、ω = 100 rad/s、r = 0.15 m）得向外的 F = 150 N、切向速度 15 m/s、約 152.91 g 的過載。這個慣性力在慣性（非旋轉）系中不存在——那裡來自繩或牆的內向力就是向心力，根本沒有向外的推。離心力讓豎直掄桶時水留在桶裡、讓洗衣機甩乾衣物、讓離心機分離血液成分、讓旋轉空間站設計中的乘客貼在外壁上。兩個力按定義大小相等、方向相反。
常見誤區
- 離心力是把你向外推的真實力。它是隻在旋轉（非慣性）系中出現的虛擬力。在慣性系裡唯一的力是向內的向心力——你感到的"向外"是自身慣性在抵抗向內拉。
- 角動量讓陀螺永遠轉下去。角動量只在無外力矩時守恆。陀螺變慢是因為尖端摩擦是外力矩；無摩擦軸承（高真空、超導體）能讓輪子轉幾天，但永遠轉不了永遠。
- 越重的物體轉動慣量越大。同形狀下確實如此；但同質量的空心環和實心盤轉動慣量可以差很多——起作用的是分佈，不只是總質量。
- 做圓周運動的物體合力為零。勻速直線運動才合力為零。圓周路徑是持續指向圓心的加速度，需要持續的內向力。撤掉力，物體就離開圓周。
相關工具：力學（其下的直線動力學）、流體（渦旋與旋轉流動）、近代物理（原子中出現的量子角動量）。
