物理模擬

互動式物理模擬，Canvas 即時動畫。包括拋體運動、單擺與雙擺、波干涉、電場線以及力向量合成。另見：力學 | 向量計算器 | 波動。
拋體運動：即時飛行的軌跡。x(t)=v0·cosθ·t，y(t)=h0+v0·sinθ·t-½gt²。射程 R=v0²sin(2θ)/g（h0=0）。最大高度 H=h0+v0²sin²θ/(2g)。
這些物理模擬是什麼？

五個即時 Canvas 動畫展示物理方程運動起來的樣子：重力下小球的軌跡、單擺的擺動與雙擺的混沌之舞、兩列圓形波的干涉圖樣、點電荷周圍的場線，以及三個力的多邊形合成。數學與站內其他頁面的公式完全相同；Canvas 讓你看到解在時間與空間中的樣子。每個面板接受少量輸入，產生數值讀數（拋體、力的合成、電場）或視覺結果（單擺、波干涉）。它們合起來就是你瀏覽器裡的小實驗室——改一個引數，立刻看到結果變化。

模擬就是讓方程顯形：同樣的代數、同樣的常數、同樣的邊界條件——渲染成動畫，讓你調引數看結果。用它建立直覺：改發射角看射程在 45° 達到峰值，改電荷符號看場線反轉，改波長看干涉圖樣收縮或展開。
拋體運動——典範拋物線

以初速 v0、角度 θ、高度 h0 發射的小球遵循引數方程 x(t) = v0 cosθ · t 與 y(t) = h0 + v0 sinθ · t − ½g t²。Canvas 隨小球飛行描繪軌跡並報告最終射程、飛行時間與最大高度。預設示例（v0 = 25 m/s，θ = 45°，h0 = 0，地球 g = 9.81 m/s²）給出飛行時間 ≈ 3.604 s、射程 ≈ 63.70 m、最大高度 ≈ 15.929 m。切換到月球預設（g = 1.62），同樣的發射達 ≈ 385.8 m、歷時 ≈ 21.82 s——同一條拋物線，長六倍遠六倍，這正是月球運動如此荒誕、也是宇航員 Alan Shepard 用臨時六號鐵桿揮杆的原理。Canvas 以紅點跟蹤球的位置，並把射程與最大高度直接標註在圖上。

單擺——簡諧與混沌

擺長 L、從角度 θ 釋放的單擺服從 θ″(t) = −(g/L) sinθ，此處用半隱式歐拉法積分。小振幅（sinθ ≈ θ）時運動是簡諧的，週期 T = 2π√(L/g)；默認 L = 1.5 m 在地球上給出 T ≈ 2.458 s。振幅較大時週期略增，因為 sinθ 不再是好的線性近似——60° 擺比同長度的 5° 擺慢約 7%。雙擺則是另一回事：兩根剛性杆、關節處有質量，受耦合非線性方程支配，同樣方式積分卻表現出混沌。初始角的微小差異在幾個週期內導致截然不同的軌跡——這是確定性混沌的標誌，也是雙擺成為混沌力學系統教科書案例的原因。在下拉框從“單擺”切到“雙擺”，第二根杆出現並取初始角 θ2；按開始即可看到擺型不可預測地發散。單擺模擬每幀還有阻尼（因子 0.9995），正如真實擺因空氣阻力與軸摩擦損失能量。

波干涉——雙源疊加

兩個點源發出同波長 λ 的圓形波；平面上每一點的合擾動是兩者的和。兩列波峰同相到達處振幅加倍（相長干涉）；一列的波峰遇上另一列的波谷則相互抵消（相消干涉）。相長干涉條件是 r1 − r2 = mλ（m 為整數）；相消為 r1 − r2 = (m + ½)λ。Canvas 繪製強度圖（亮 = 高振幅，暗 = 抵消），並可疊加 r1 − r2 = mλ 的節線（虛線選項）。預設間距（120 px = 3λ）沿中垂線呈現清晰的明暗交替帶——與托馬斯·楊雙縫實驗中的明暗條紋、油膜反射的彩色條帶同屬一回事。

電場線——密度編碼強度

點電荷 Q 周圍的電場是大小為 E = kQ/r² 的徑向向量；兩個電荷時任意點的場是向量和 E合 = E1 + E2。Canvas 從源區以 4 px 步長的尤拉法沿區域性場方向追蹤 16 條場線。場線從正電荷（Q > 0）發出、終止於負電荷（Q < 0）；預設示例（Q1 = +5，Q2 = −3，|Q1·Q2| = 15）的圖樣顯示場線從左側紅色 + 電荷出發、向外彎曲，多數終止於右側藍色 − 電荷，少數逃逸到無窮遠（因為電量不等）。場線密度正比於場強：線密處場強，線疏處場弱。同時反轉兩電荷符號會反轉線的方向而幾何不變。

力的合成——多邊形法

多個力作用於同一物體時，合力是它們的向量和，不是標量和。多邊形（首尾相接）法把每個力向量依次尾接頭地從原點擺開；合力 R 就是從原點指向最後一個箭頭的向量。分量式：Rx = ΣFi cosθi、Ry = ΣFi sinθi、|R| = √(Rx² + Ry²)、θR = arctan(Ry/Rx)。Canvas 把每個力畫成從原點出發的彩色箭頭（F1 紅、F2 藍、F3 綠），再用紫色虛線從原點連到最後的箭頭表示合力，並輔以淺灰多邊形線描出首尾相接的路徑。預設示例（F1 = 30 N 0°，F2 = 25 N 60°，F3 = 15 N 150°）給出 Rx ≈ 29.51 N、Ry ≈ 29.15 N、|R| ≈ 41.48 N、θR ≈ 44.65°——合力大於任何單個分力，因為方向相互加強。

常見誤區
  • Canvas 展示的是真實物理，不是示意。每一幀都由底層方程算出（擺用尤拉積分、波用疊加、力用向量和）。改輸入就是改數學；動畫是直接的數值視覺化。
  • 單擺週期取決於振幅。小振幅（小於約 15°）時週期幾乎與振幅無關，等於 T = 2π√(L/g)。振幅更大時週期明顯增長——90° 擺比小角公式預測的慢約 18%。落地鐘的“秒擺”刻意設計成小擺幅，正是為了讓週期紋絲不動。
  • 電場線是真實存在的。它們只是場的視覺化，不是物理的線。真實的電場是空間每一點的向量；場線只是把場切向連續相連的點連起來。你無法“抓住”一條場線。
  • 多邊形法與平行四邊形法給出不同答案。兩者給出同一合力。平行四邊形法適用於兩個力；多邊形法自然推廣到任意多個力。都是向量加法的等價應用。

相關工具：力學（數值運動學公式）、向量計算器（分量分解與點積叉積）、波動與振盪（完整行波方程）、電學與電路（電流電壓對應物）以及光學（波干涉的光學版——楊氏雙縫）。