什麼是天體物理？
天體物理是物理學中以引力與運動作為統一語言的部分，研究物件從一顆衛星到整個星系。本面板的六個計算器回答關於任何天體或軌道都能問出的六個常見問題：要把東西扔多快才能離開這個系統？環繞它要多快？一條軌道要多久？同樣的質量要塌縮到多小才會變成黑洞？火箭每份燃料能換來多少 Δv？一個紅移中的星系有多遠？其餘一切——以地球軌道基線（1 天文單位 AU = 1.496×1011 m）做視差測距、以星等作為亮度的對數分級、以紅移 z ≈ v/c 作為哈勃定律的低速近似——都建立在同一套牛頓力學與相對論框架之上。
兩條牛頓公式支撐了這裡幾乎一切：逃逸速度 v_e = √(2GM/R) 與圓軌道速度 v_o = √(GM/r)。二者之比恰為 √2；其代數形式可推廣到從衛星到球狀星團的一切有心力問題。
逃逸速度——離開勢能井
質量 M、半徑 R 的天體造就一口單位質量深度為 GM/R 的勢能井。從表面爬出所需動能至少等於該深度，由此得到逃逸速度。代入地球：M = 5.972×1024 kg，R = 6.371×106 m——面板返回 v_e ≈ 11,186 m/s（11.19 km/s，約 33 馬赫）。火星約為 5.03 km/s，月球 2.38 km/s，木星 60 km/s（在那裡氫是很差的火箭推進劑，但數學相同），太陽 618 km/s。注意：公式假設無大氣阻力、不再推進；任何火箭的真實數值還要計入氣動損失、上升過程中的重力損耗和轉向損耗。它也是從表面靜止出發的速度；已在軌道上的物體只需從其高度逃逸的較小 Δv，永遠不需要完整的表面值。同一標度關係決定表面體重：在火星（g = 3.71 m/s²）上 70 kg 的宇航員重 260 N——質量不變，重量隨當地重力變化。
軌道速度——留在勢能井裡
穩定的圓軌道讓向心加速度與引力平衡：vo = √(GM/r)。面板預設地球預設取 r = 7×106 m（約 629 km 高度——國際空間站領域），給出 vo ≈ 7,546 m/s、週期 5,829 s（約 1.62 小時）。真實國際空間站在約 408 km 高度、約 92.7 分鐘繞一圈；面板的高度只是示例數字，不是飛行時刻表。該關係也給出逃逸條件——同高度下 vo 乘以 √2 即得 ve。軌道速度與環繞物體的質量無關；同一軌道上的羽毛與戰列艦（真空中）速度相同，這正是軌道力學把衛星當作質點處理的原因。
開普勒第三定律——時間與距離
T2 = (4π2/GM) · a3 把軌道週期與半長軸聯絡起來。面板的日地預設值（M = 1.989×1030 kg，a = 1.496×1011 m = 按定義 1 AU）給出 T ≈ 365.21 天，正是我們一年的長度。反向求解——給定週期（秒），算出 a——是天文學家測量任何可計時衛星半長軸的方法。同一條 1 AU 基線也是秒差距（parsec）的定義：當地球掃過 2 AU 時，相對背景出現 1 角秒視差位移的恆星恰好距離 1 秒差距 = 3.26 光年——且 1 秒差距 = 206,265 AU。千米和光年在星際尺度上難以駕馭；秒差距和 AU 才是工作單位。
史瓦西半徑——事件視界
若把質量 M 壓縮到其史瓦西半徑 Rs = 2GM/c2 以內，內部任何訊號都無法爬出：這就是無自轉黑洞的視界。對普通質量而言這個數字小得驚人：地球的 Rs 約 8.87 mm——比一顆彈珠還小；太陽的約 2.95 km。要把二者壓塌需要已知物態都無法提供的密度。真實黑洞形成於恆星死亡：5 M☉ 緻密物的 14.76 km（面板的“恆星級黑洞”預設）正是天鵝座 X-1 級天體的正確量級，而像銀河系中心人馬座 A* 那樣 4×106 M☉ 的超大質量黑洞 Rs ≈ 1.18×1010 m（約為水星軌道的 17%）。史瓦西半徑是廣義相對論的座標預言；自轉（克爾）黑洞的真實視界不同且可能更小。
齊奧爾科夫斯基火箭方程——運動的代價
對以速度 ve 向後噴氣、質量比為 m0/mf 的火箭，動量守恆給出 Δv = ve · ln(m0/mf)。面板可載入的示例（ve = 3000 m/s，m0 = 500,000 kg，mf = 50,000 kg）給出質量比 10、推進劑佔比 90% 時 Δv ≈ 6,907.76 m/s。這個方程殘酷地對數：推進劑翻倍只增加 ve·ln(2) 的 Δv，永遠不會翻倍。近地軌道總共約需 9.4 km/s Δv；地球同步轉移軌道約 11.5 km/s；地月轉移約 12.5 km/s——這是火箭要分級、上面級只佔發射質量極小份額、以及單級入軌至今依然困難重重的原因。
哈勃距離——宇宙距離階梯
埃德溫·哈勃 1929 年觀測到星系退行速度與距離成正比，給出 d = v/H0。取面板的 H0 = 70 km/s/Mpc，v = 1,000 km/s 的星系距離 d ≈ 14.286 Mpc ≈ 4.66×107 光年。對近鄰星系退行速度只是 c 的很小份額，z ≈ v/c ≈ 3.34×10-3；線性哈勃定律此時是膨脹宇宙宇宙學退行的特例。該關係在高紅移（z > 0.1）失效，屆時需完整的宇宙學模型接管——這也是資訊框提醒公式僅適用於“相對較近”星系的原因；同理，ve 或 vo 在接近光速時必須考慮相對論修正。哈勃距離階梯——視差→造父變星→Ia 型超新星→哈勃流——正是校準 H0 本身的手段，而當前局域測量與 CMB 推斷值之間的 H0 張力仍是宇宙學的未解難題之一。
常見誤區
- 逃逸速度是從地面起飛的速度。它是在給定半徑處從靜止出發、不再推進的速度；以恆定低推力爬升數小時的火箭不需要在任何瞬間達到 ve。
- 黑洞像真空吸塵器一樣把東西吸進去。視界半徑由中心質量決定，與被“拉”的物體無關。在 r ≫ Rs 處，引力就是牛頓引力；只有非常靠近視界才變得不可逃脫。太陽若變成同質量黑洞，地球軌道不會有任何變化。
- 推進劑越多 Δv 成比例越多。齊奧爾科夫斯基方程是對數的：推進劑翻倍增加的是 ve·ln(2)，而不是 Δv 翻倍。這是火箭工程中最重要的一個數字。
- 視差測量恆星大小。視差測量的是距離，用的是測量員同款的幾何三角化——基線越長，量程越遠。地球週年軌道提供的 2 AU 基線使秒差距成為自然單位。
相關工具：力學（背後的運動學）、近代物理（高速下的相對論效應）以及計算器（驅動上述公式的代數工具）。
