三種乘積做你需要的一切：點積（衡量對齊程度的標量，A·B = |A||B|cosθ）、叉積（垂直於兩個輸入的向量，模為 |A||B|sinθ）以及投影運算元（A 沿指定方向的分量）。凡涉及不止一個向量的物理公式，簿記都是它們。
模與 2D 典範例
3-4-5 直角三角形是 2D 向量的典範例。取 A = (3, 4)，其模為 |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5；相對 +x 軸的方向為 arctan(4/3) ≈ 53.13°。任何 2D 向量都可寫成模乘以該方向的單位向量：A = 5·(0.6, 0.8)。分解面板接受模與角 θ、φ，按球座標約定（x = r cosθ cosφ，y = r cosθ sinφ，z = r sinθ）或平面約定（忽略 φ，x = r cosθ，y = r sinθ）返回 x、y、z 分量。r = 10、θ = 36.87° 的 2D 模式返回 (8, 6, 0)——由 3-4-5 縮放而來的 6-8-10 直角三角形。認得這些整數三角形，就能不借助三角函式一眼看出哪些分量互相垂直。
點積——對齊程度的標量度量
對兩個向量 A 與 B，點積 A·B = AxBx + AyBy（+ AzBz）是一個標量，等於 |A||B|cosθ——即模的乘積乘以夾角的餘弦。預設 2D 示例（A = (3, 4)，B = (5, 2)）給出 A·B = 15 + 8 = 23、|A| = 5、|B| = √29 ≈ 5.385，cosθ = 23/(5 × 5.385) = 23/26.93 ≈ 0.854，故 θ ≈ 31.33°。三個符號結論承載全部解讀：cosθ > 0 意味著銳角、兩向量大致同向；cosθ < 0 意味著鈍角、兩向量相逆；cosθ = 0 意味著垂直。點積就是力 F 沿位移 d 做的功（W = F·d）；餘弦正是斜著推不如順著運動方向推有效的數學表達。
叉積——垂直於兩個輸入的向量
叉積是僅限 3D 的運算，結果是垂直於兩個輸入的向量，模為 |A||B|sinθ，方向由右手定則給定（食指沿 A、中指沿 B，拇指即 A×B）。分量式為 A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx)。預設 3D 示例（A = (2, 3, 4)，B = (5, 1, 2)）給出 A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13)。叉積是反對稱的：B×A = −A×B，交換輸入即翻轉符號。三個物理出場處：力矩 τ = r×F（轉動之力）、角動量 L = r×p（軌道角動量）、運動電荷的磁力 F = qv×B。|A×B| 等於兩向量張成的平行四邊形面積——這正是叉積結果總在描述面積或旋轉的原因。力矩就是叉積的應用：τ = r×F 模為 |r||F|sinθ，過支點推力為零，扳手越長力矩越大。
向量間的夾角
有了點積和模，夾角就是一次反餘弦：cosθ = A·B/(|A||B|)，θ ∈ [0, π]。點積相對模很小說明接近垂直；點積等於 |A||B| 說明同向（θ = 0）；等於 −|A||B| 說明反向（θ = π）。公式在 2D 與 3D 中相同——只是分量求和的維數不同。幾何上，點積可看作把 A 投影到 B（或 B 投影到 A）再乘以另一者的模，餘弦字面上就是投影比。
單位向量與投影
單位向量是模為 1、指向與原向量相同的向量：u = A / |A|。單位向量是你描述“純方向”的方式；笛卡爾座標的 i、j、k 基向量是典範，3D 中任何方向都可寫成它們的線性組合。A 在 B 上的投影（即 A 沿 B 的分量）為 projBA = (A·B / |B|²) · B——A 中沿著 B 的那一部分。標量版本（A·B/|B|）是該投影的帶符號長度。這正是點積成為做功公式的原因：位移沿力方向的分量乘以力的大小，就是所做的功。
常見誤區
- 點積是向量的乘法。它是標量積——產出一個數，不是向量。同樣叉積是向量積。叫它們“乘法”掩蓋了輸出完全不同這一事實。
- 叉積是標量。2D 中垂直分量有時被稱作標量（行列式 axby − aybx），但 3D 中叉積是真向量。它的模和方向都有物理意義。
- 叉積滿足交換律。它是反交換的：A×B = −B×A。順序很重要——力矩 r×F 與 F×r 方向相反。
- 向量有固定位置。向量是自由的——在頁面上平移不改變它。固定不變的只是其模與方向；只有物理中的特定向量（位置向量、某點的電場）才繫結位置。
相關工具：力學（語境中的力矩、功與角動量）、轉動與力矩（叉積如何構建角動量）以及電路（磁力 F = qv×B）。
