Kalkulačka astrofyziky

Astrofyzika je ta část fyziky, která používá gravitaci a pohyb jako provozní jazyk všeho od měsíce po galaxii. Šest kalkulaček v tomto panelu odpovídá na šest opakujících se otázek, které můžete položit o jakémkoli tělese nebo trajektorii: jak rychle musím něco hodit, abych opustil systém? Jak rychle to musím nechat obíhat? Jak dlouho trvá oběh? Jak malé by se musela zhroutit stejná hmotnost, aby se stala černou dírou? Kolik delta-v raketa získá na zlomek paliva? A jak daleko je galaxie, jejíž světlo se posouvá do červena? Vše ostatní — vzdálenosti měřené paralaxou vůči základně oběžné dráhy Země o jedné astronomické jednotce (AU = 1.496×10¹¹ m), magnitudy jako logaritmické pořadí jasu, rudý posuv z ≈ v/c jako nízkorychlostní verze Hubblova zákona — stojí na stejné Newtonovské a relativistické kostře.

Každé těleso o hmotnosti M a poloměru R vytváří potenciálovou studnici o hloubce GM/R na jednotku hmotnosti. Vystoupit z povrchu vyžaduje kinetickou energii alespoň rovnou této hloubce, což dává únikovou rychlost. Dosaďte Zemi: M = 5.972×10²⁴ kg, R = 6.371×10⁶ m — panel vrátí v_e ≈ 11 186 m/s (11.19 km/s, asi Mach 33). Mars vychází na ≈ 5.03 km/s, Měsíc na 2.38 km/s, Jupiter na 60 km/s (kde vodík tvoří špatné raketové palivo, ale matematika je stejná) a Slunce na 618 km/s. Poznámka: vzorec předpokládá žádný odpor atmosféry a žádný další pohon; skutečné číslo pro jakoukoli raketu zahrnuje aerodynamické ztráty, gravitační odpor při stoupání a ztráty řízení. Je to také rychlost z klidu u povrchu; objekt, který už obíhá, potřebuje menší Δv k úniku ze své výšky, nikdy plnou hodnotu u povrchu. Stejné škálování určuje povrchovou tíhu: na Marsu (g = 3.71 m/s²) váží kosmonaut o 70 kg 260 N — hmotnost se nemění, tíha sleduje místní gravitaci.

Stabilní kruhová dráha vyrovnává dostředivé zrychlení s gravitací: v_o = √(GM/r). Výchozí předvolba Země panelu pro r = 7×10⁶ m (asi 629 km výšky — území ISS) dává v_o ≈ 7 546 m/s a oběžnou dobu 5 829 s (~1.62 hodiny). Skutečná ISS je ve výšce ~408 km a obíhá za ~92.7 minuty; výška v panelu je ilustrativní číslo, ne letový plán. Vztah dává také únik — vynásobte v_o √2 a dostanete v_e ve stejné výšce. Oběžná rychlost nezávisí na obíhající hmotnosti; pírko a bitevní loď na stejné dráze se pohybují stejnou rychlostí (ve vakuu), proto oběžná mechanika zachází s družicemi jako s hmotnými body.

T² = (4π²/GM) · a³ spojuje oběžnou dobu s velkou poloosou. Výchozí předvolba Slunce–Země (M = 1.989×10³⁰ kg, a = 1.496×10¹¹ m = 1 AU podle definice) dává T ≈ 365.21 dne, přesně délku našeho roku. Řešení opačným směrem — daná doba v sekundách, vypočítat a — je způsob, jak astronomové měří velkou poloosu každé družice, jejíž oběžnou dobu umějí změřit. Stejná základna 1 AU je také definicí parseku: hvězda, která ukazuje 1 obloukovou sekundu paralaxového posunu vůči pozadí, když Země přejede 2 AU, je přesně 1 parsec = 3.26 světelného roku daleko — a 1 parsec = 206 265 AU. Kilometry a světelné roky se na mezihvězdných měřítkách stávají nepřehlednými; pracovními jednotkami jsou parseky a AU.

Pokud stlačíte hmotnost M pod její Schwarzschildův poloměr R_s = 2GM/c², žádný signál zevnitř se nemůže dostat ven: je to horizont nerotující černé díry. Čísla jsou u obyčejných hmotností překvapivě malá: poloměr R_s Země je asi 8.87 mm — menší než kulička; Slunce má asi 2.95 km. Zhroutit kterékoli z nich by vyžadovalo hustoty, které žádný známý stav hmoty neposkytuje. Skutečné černé díry vznikají při smrti hvězd, kde 14.76 km pro zbytek o 5 M_⊙ (předvolba „malé ČD“ v panelu) je správný řád pro objekty třídy Labuť X-1, zatímco supermasivní černá díra 4×10⁶ M_⊙ jako Sagittarius A* v našem galaktickém středu má R_s ≈ 1.18×10¹⁰ m (asi 17 % oběžné dráhy Merkuru). Schwarzschildův poloměr je souřadnicová předpověď obecné relativity; skutečný horizont rotující (Kerrovy) černé díry se liší a může být menší.

Zákon zachování hybnosti pro raketu vypalující výfuk dozadu rychlostí v_e s poměrem hmotností m₀/m_f dává Δv = v_e · ln(m₀/m_f). Načitatelný vzorek panelu (v_e = 3000 m/s, m₀ = 500 000 kg, m_f = 50 000 kg) dává Δv ≈ 6 907.76 m/s pro poměr hmotností 10 a podíl paliva 90 %. Rovnice je brutálně logaritmická: zdvojnásobení paliva přidá Δv rovné v_e·ln(2), nikdy ho nezdvojnásobí. Nízká oběžná dráha Země potřebuje celkem zhruba 9.4 km/s Δv; přechodová dráha ke geostacionární asi 11.5 km/s; přechod k Měsíci asi 12.5 km/s — proto rakety mají stupně, proč jsou horní stupně malým zlomkem startovní hmotnosti a proč zůstává jednostupňový vynos na oběžnou dráhu tvrdošíjně obtížný.

Pozorování Edwina Hubblea z roku 1929, že galaxie se vzdalují rychlostí úměrnou vzdálenosti, dává d = v/H₀. Při H₀ = 70 km/s/Mpc panelu leží galaxie s v = 1 000 km/s ve vzdálenosti d ≈ 14.286 Mpc ≈ 4.66×10⁷ světelných let. U blízkých galaxií je rychlost recese malým zlomkem c, takže z ≈ v/c ≈ 3.34×10^-3; lineární Hubbleův zákon je pak zvláštní případ kosmologické recese v rozpínajícím se vesmíru. Vztah se láme při vysokém rudém posuvu (z > 0.1), kde převezme plný kosmologický model, proto informační box varuje, že vzorec platí pro „poměrně blízké“ galaxie — stejné varování platí při použití v_e nebo v_o blízko rychlosti světla (relativistické korekce mají význam). Žebřík vzdáleností Hubblea — paralaxa, cefeidy, supernovy typu Ia, Hubbleův tok — kalibruje samotné H₀, a současné napětí v H₀ mezi lokálními a z CMB odvozenými hodnotami zůstává jedním z otevřených problémů kosmologie.

• Úniková rychlost je startovní rychlost od země. Je to rychlost z klidu v daném poloměru bez dalšího pohonu; raketa stoupající při nízkém konstantním tahu po hodiny nemusí v žádném okamžiku dosáhnout v_e.
• Černé díry nasávají věci jako vysavače. Poloměr horizontu určuje centrální hmotnost, ne objekt, který je „přitahován“. Při r » R_s je gravitace prostě Newtonova; teprve velmi blízko horizontu se stává neuniknutelnou. Kdyby Slunce bylo černou dírou stejné hmotnosti, oběžná dráha Země by se vůbec nezměnila.
• Více paliva znamená úměrně více Δv. Ciolkovskij je logaritmický: zdvojnásobení paliva přidá v_e·ln(2), ne zdvojnásobí delta-v. Je to nejdůležitější číslo raketového inženýrství.
• Paralaxa měří velikost hvězd. Paralaxa měří vzdálenost stejnou geometrickou triangulací, jakou používají zeměměřiči — čím delší základna, tím větší dosah. Základna 2 AU z roční dráhy Země dělá z parseků přirozenou jednotku.

Související nástroje: Mechanika pro základní kinematiku, Moderní fyzika pro relativistické účinky při vysoké rychlosti a Kalkulačka pro algebraický aparát, který pohání vzorce výše.