Klasická mechanika a elektromagnetismus fungují výborně, dokud se rychlosti nepřiblíží rychlosti světla nebo velikosti nepřiblíží atomovým měřítkům; moderní fyzika je režim za nimi. Dělí se do tří větví: speciální relativita (vysoké rychlosti, kde c je mezní rychlost a hmotnost, délka a čas závisí na pozorovateli), kvantová mechanika (malá měřítka, kde je energie kvantovaná, částice mají vlnové vlastnosti a samotné pozorování ovlivňuje výsledek) a jaderná a částicová fyzika (vazba a rozpad atomových jader, kde je sama hmotnost zásobárnou energie). Šest kalkulaček na tomto panelu pokrývá rovnice, které z těchto větví vycházejí — Lorentzovo zkrácení a dilataci, de Broglieho vlnovou délku, fotoelektrický jev, E = mc², radioaktivní rozpad a Bohrův model vodíku — plus univerzální konstanty c, h a eV, které jimi procházejí.
Dvě univerzální konstanty dělají téměř všechno zde: c = 299 792 458 m/s pro relativitu (rychlost světla je ve všech směrech stejná pro každého pozorovatele) a h = 6.626×10−34 J·s pro kvanta (každá interakce vyměňuje energii po částech o velikosti hf). Přidejte převod 1 eV = 1.602×10−19 J pro práci na atomové úrovni a většinu čísel panelu si snadno představíte v hlavě.
Speciální relativita — c je limit
Einsteinův postulát z roku 1905: rychlost světla c je stejná v každé inerciální soustavě a fyzikální zákony jsou ve všech inerciálních soustavách stejné. Důsledkem pro čas a délku je Lorentzův faktor γ = 1/√(1 − v²/c²), který čas nafukuje (Δt = γ·T0) a délku smršťuje (L = L0/γ) v pohybující se soustavě. Výchozí vzorek (v = 0.8 c, T0 = 1 s, L0 = 10 m) dává γ ≈ 1.667, takže hodiny na rychle letící lodi odbijí 1 s vlastního času, zatímco pro nehybného pozorovatele uplyne 1.667 s, a 10metrová loď se jeví jako dlouhá 6 m. Při v = 0.5 c je γ jen 1.155 — sotva znatelné; při v = 0.99 c je γ 7.09 a relativistické účinky jsou dramatické. Síť GPS musí korigovat dilataci času hodin družic při oběžných rychlostech (~45 μs/den pomaleji) a gravitační modrý posuv (~45 μs/den rychleji); oba účinky se téměř ruší, ale ne přesně — bez korekce by se poloha GPS po jednom dni odchýlila asi o 10 km.
De Broglieho vlnová délka — hmota má vlny
Světlo je vlna i částice; podle symetrie je každá částice s hybností p také vlnou s vlnovou délkou λ = h/p = h/(mv). Výchozí vzorek (elektron při v = 106 m/s) dává λ ≈ 0.727 nm, na hranici rentgenového a měkkého rentgenového záření. To je mez rozlišení elektronového mikroskopu — a proto elektronová mikroskopie přebíjí světelnou o řády. U baseballového míčku o rychlosti 40 m/s (160 km/h) je λ ≈ 10−34 m, o mnoho řádů menší než proton, proto se baseballové míčky neohýbají na plotech. Vlnově-částicová dualita je univerzální; jen konstanta h brání tomu, aby se každodenní hmota jevila jako kvantový objekt.
Fotoelektrický jev — kvantování prokázáno
Světlo dopadající na kov vyráží elektrony, ale jen tehdy, když energie fotonu přesáhne výstupní práci kovu φ: Ek = hf − φ, kde f je frekvence světla a h je Planckova konstanta. Výchozí vzorek (povrch podobný mědi s φ = 4.3 eV, λ = 200 nm ultrafialové) dává energii fotonu hf = 1240/200 = 6.2 eV a kinetickou energii elektronu 1.9 eV, s rychlostí elektronu asi 8.16×105 m/s. Pod prahovou frekvencí (φ/h v Hz, nebo 1240/φ v nm·eV — 288 nm pro měď) nevycházejí žádné elektrony bez ohledu na intenzitu. Tento jev byl experimentem, který v roce 1905 rozhodl vlnově-částicový spor, protože klasická fyzika předpovídá, že energie elektronu má záviset na intenzitě, ne na frekvenci.
E = mc² — hmotnost je energie
Ekvivalence hmotnosti a energie E = mc² spojuje hmotnost s energií obrovskou úměrnostní konstantou (c² = 8.988×1016 J/kg). Jeden kilogram hmoty obsahuje 8.988×1016 J, energii uvolněnou termonukleární zbraní o 21.5 megatuny — nebo ekvivalentně by denní spotřeba energie celé světové ekonomiky (~5×1020 J) vyžadovala jen asi 5 500 kg anihilované hmoty. V praxi přeměna nikdy není úplná: jaderné štěpení uvolní asi 0.1 % hmotnostní energie, jaderná fúze asi 0.7 % a anihilace hmoty s antihmotou celých 100 %. Hmotnostní defekt (rozdíl mezi součtem hmotností nukleonů a skutečnou hmotností jádra) je vazebná energie uvolněná při vzniku těchto jader, a proto stojí tabulky vazebných energií vedle tabulek hmotností v každé příručce jaderných dat.
Poločas rozpadu — pravděpodobnostní hodiny
Každé nestabilní jádro má pevnou pravděpodobnost rozpadu za jednotku času, nezávisle na svém stáří nebo chemickém prostředí. Výsledkem je exponenciální rozpad: N(t) = N0·(1/2)t/T½. Výchozí vzorek (N0 = 1000 atomů, T½ = 10 s, t = 25 s) dává N ≈ 176.78 přeživších (asi 17.7 %) a 823.22 rozpadlých (82.3 %) po 2.5 poločasu. Střední životnost je τ = T½/ln(2) ≈ 1.443·T½ (průměrný atom přežije déle než poločas, protože některé žijí mnohem déle než medián). Rozpadová konstanta λ = ln(2)/T½ je pravděpodobnost za jednotku času; aktivita A = λ·N je počet rozpadů za sekundu, jejíž jednotkou je becquerel (1 Bq = 1 rozpad/s). Datování uhlíkem-14 používá tento přesný vztah s T½ = 5 730 let k datování organického materiálu staršího asi 50 000 let; u starších vzorků přebírá slovo draslík-argon (T½ = 1.25 miliardy let).
Bohrův vodík — kvantované dráhy
Nejjednodušší kvantový atom: elektron smí být pouze na určitých drahách s energií En = −13.6/n² eV (n = 1, 2, 3, ...). Přechody mezi drahami uvolňují nebo pohlcují fotony s energií rovnou rozdílu. Výchozí vzorek (ni = 3 → nf = 2, čára Hα) dává ΔE ≈ 1.889 eV a vlnovou délku ≈ 656.5 nm, hluboce červená čára Hα — stejná vlnová délka, která na fotografiích barví emisní mlhoviny růžově. Přechody do n = 1 tvoří Lymanovu řadu (ultrafialová), do n = 2 Balmerovu řadu (viditelná), do n = 3 Paschenovu řadu (blízké infračervené) a tak dále. Bohrův model je v detailu chybný (skutečný atom vodíku popisuje Schrödingerova rovnice, s oblaky pravděpodobnosti místo drah), ale dostatečně správný, aby přesně předpověděl spektrum vodíku a sloužil jako most od klasického k kvantovému myšlení.
Časté omyly
- Dilatace času je „jen perspektiva“. Dilatovaný čas je fyzikální, ne zdánlivý. Mion vzniklý kosmickým zářením vysoko v atmosféře žije (v našem systému) dost dlouho, aby dosáhl země, protože jeho vysoké γ prodlužuje jeho životnost tímto faktorem. Samotný mion vidí atmosféru smrštěnou, se stejnou fyzikou — oba pohledy se shodují v tom, co dosáhne země.
- E = mc² převádí hmotnost na energii. Hmotnost se nestává energií; je energií. Rovnice říká, že hmotnost a energie jsou tatáž veličina měřená v různých jednotkách. Jádro, které je lehčí než jeho složky o Δm, uvolnilo vazebnou energii Δm·c²; energie tam byla vždy, jen ne jako hmotnost.
- Světlo je „buď vlna, nebo částice“. Ani jedno samo o sobě. Světlo se chová jako vlna při interferenci a jako částice (foton) při emisi a absorpci. Oba popisy jsou komplementární, ne protichůdné.
- Relativistická hmotnost roste s rychlostí. Moderní užití pojem opustilo: „hmotnost“ je jen klidová hmotnost m0. Celková energie roste s γ (E = γm0c²), ale nazývat to „relativistickou hmotností“ zakrývá geometrii čtyřhybnosti a už není standardní.
Související nástroje: Obvody pro klasické elektrické pozadí, Termodynamika pro statistickou mechaniku a větu o ekvipartici a Přehled konstant pro hodnoty každé konstanty použité zde.
