Těžkou práci odvádějí čtyři zachovávané veličiny: hybnost (p = mv), když nepůsobí žádná vnější síla; mechanická energie (Ek + Ep), když působí jen konzervativní síly; moment hybnosti, když nepůsobí žádný vnější moment; hmotnost v běžných (nejaderných) interakcích. Dohromady řeší téměř každou učebnicovou úlohu.
Šikmý vrh — parabolický let
Vyhoďte cokoli s počáteční rychlostí v0 pod úhlem θ nad vodorovnou a dráha se stane parabolou, je-li odpor vzduchu zanedbatelný. Vodorovný a svislý pohyb jsou nezávislé: x(t) = v0 cosθ · t (konstantní vodorovná rychlost) a y(t) = v0 sinθ · t − ½g t² (rovnoměrně zrychlený svislý pád). Ze způsobu kinematiky plynou tři souhrnné výsledky: dolet R = v0² sin(2θ) / g, maximální výška H = v0² sin²(θ) / (2g), doba letu T = 2v0 sinθ / g (pro výstřel od země). Výchozí vzorek (v0 = 20 m/s, θ = 45°, g Země = 9.81 m/s²) dává vx = vy = 14.142 m/s, R = 40.775 m, H = 10.194 m a T = 2.883 s. Úhel 45° dává maximální dolet na rovině pro danou rychlost a na Měsíci stejný výstřel dosáhne R = 246.91 m, protože gravitace je šestkrát slabší.
Volný pád — tři ekvivalentní kinematické tvary
Těleso puštěné z klidu padá za konstantní gravitace se třemi zaměnitelnými vztahy: v = gt (okamžitá rychlost v čase t), h = ½g t² (uražená vzdálenost z klidu po čase t) a v = √(2gh) (rychlost po pádu do vzdálenosti h). Každý je zvláštním případem kinematických rovnic a převoditelný na ostatní dosazením. Výchozí vzorek (h = 100 m, Země) dává t = 4.515 s, v = 44.294 m/s a v = 159.46 km/h — zhruba mezní rychlost parašutisty ve stabilní roztažené poloze. Přepněte na režim z času a pád 3 s dá d = 44.145 m a v = 29.43 m/s (asi 105.95 km/h). Stejný pád na Měsíci trvá t = 11.11 s a dosáhne jen 17.97 m/s — stejný pád, šestkrát pomaleji.
Nakloněná rovina — gravitace rozložená na složky
Těleso o hmotnosti m na svahu o úhlu θ cítí gravitaci W = mg přímo dolů, ale jen složka podél povrchu těleso zrychluje; složka do povrchu je vyrušena normální silou. Rozklad je geometrie: Frovnoběžná = mg sinθ, normála N = mg cosθ. Tření přidává odporovou sílu f = μN = μmg cosθ proti pohybu; součinitel smykového tření μ se pohybuje od asi 0.04 (ocel na ledu) do 0.8 (guma na gumě). Čistá síla dolů po svahu je Fčistá = mg sinθ − μmg cosθ, což dává zrychlení a = g(sinθ − μ cosθ). Výchozí vzorek (m = 10 kg, θ = 30°, μ = 0.2, g = 9.81 m/s²) dává W = 98.1 N, N = 84.957 N, Frovnoběžná = 49.05 N, f = 16.991 N, Fčistá = 32.059 N a a = 3.206 m/s². Těleso sjíždí dolů, protože rovnoběžná složka přesahuje tření. Zvedněte μ na 0.6 a čistá síla se stane zápornou — těleso zůstane stát (nebo sjede zpět nahoru, pokud jste jej stlačili); tření zvítězilo. Úhel, při kterém se třecí těleso poprvé rozjede, je arctan(μ), úhel tření; pod ním klidové tření těleso drží.
Newtonův 2. zákon — F = m · a, tři režimy výpočtu
Newtonův 2. zákon ve skalárním tvaru je F = m · a: výsledná síla na těleso se rovná jeho hmotnosti krát jeho zrychlení. Výchozí (hmotnost 10 kg, zrychlení 5 m/s²) dává F = 50 N. Přepněte rozbalovací nabídku a tentýž panel vypočítá hmotnost (m = F / a), zrychlení (a = F / m), nebo tíhu (W = m · g, s tíhovým zrychlením Země 9.81 m/s²). Osoba o hmotnosti 70 kg má W = 686.7 N na Zemi a W = 113.4 N na Měsíci — stejná osoba, stejná hmotnost, ale šestinásobný rozdíl tíhy, protože gravitace je šestkrát slabší. Tíha je síla (newtony); hmotnost je množství hmoty (kilogramy).
Hybnost a impuls — dva dvojčata zákonů zachování
Pohybující se těleso nese hybnost p = mv, vektor ukazující ve směru rychlosti. Ke změně hybnosti tělesa je potřeba impuls J = FΔt = Δp, rovný síle působící po dobu jejího působení. Výchozí vzorek (m = 2 kg, v = 15 m/s, F = 50 N, t = 0.5 s) dává p = 30 kg·m/s, Ek = 225 J, J = 25 N·s, Δv = 12.5 m/s a konečnou rychlost vkonečná = 27.5 m/s, pokud impuls působí ve směru pohybu. Stejný impuls dodaný menší silou po delší dobu („měkké“ zachycení) nebo větší silou po kratší dobu („tvrdá“ srážka) dá stejnou změnu hybnosti. V uzavřené soustavě bez vnějších sil se celková hybnost zachovává: 2kilogramové těleso o rychlosti 15 m/s, které narazí do nehybného tělesa o hmotnosti 1 kg, skončí s v1' = 5 m/s a v2' = 20 m/s (dokonale pružná srážka), nebo oba sdílejí společnou rychlost v = 10 m/s (dokonale nepružná srážka). Toto účetnictví je základem každé analýzy srážek od kulečníku po protonové svazky.
Práce, energie a výkon — zachovávané účetnictví
Když síla posune těleso o vzdálenost, koná práci W = F · d (skalární součin ji činí přesnou i pro síly mimo osu: počítá se jen složka F ve směru d). Energie, kterou těleso má díky svému pohybu, je kinetická energie Ek = ½mv²; energie, kterou má díky své poloze v gravitačním poli, je potenciální energie Ep = mgh. Celková mechanická energie E = ½mv² + mgh se zachovává, působí-li jen gravitace (žádné tření, žádné vnější síly) — proto se kyvadlo houpe ve stejné výšce při každém kmitu a míček vyhozený vzhůru se dolů vrací se stejnou rychlostí, s jakou byl vyhozen. Výkon P = W / t měří rychlost, jakou se koná práce. Výchozí vzorek (m = 5 kg, v = 10 m/s, h = 20 m, g = 9.81, F = 50 N, d = 4 m, t = 2 s) dává Ek = 250 J, Ep = 981 J, celková mechanická energie = 1231 J, W = 200 J, P = 100 W a P = 0.1341 hp.
Časté omyly
- Těžší tělesa padají rychleji než lehčí. Ve vakuu platí opak: každé těleso se zrychluje stejným g bez ohledu na hmotnost. Odpor vzduchu tuto shodu narušuje, protože závisí na průřezu, ne na tíze — pírko a kladivo puštěné společně na Zemi dopadnou v různých časech, ale na Měsíci (bez vzduchu) dopadnou současně, což bylo živě předvedeno během Apolla 15.
- Síla a rychlost jsou totéž. Síla způsobuje zrychlení (F = ma); rychlost je to, co získáte z trvalé síly. Zastavené auto má sílu na kolech, ale nulovou rychlost; hokejový puk klouže přes bezztrazý led konstantní rychlostí s nulovou čistou silou.
- Hybnost a kinetická energie jsou totéž. Obě jsou v klidu nulové, ale škálují se jinak. Zdvojnásobení rychlosti zdvojnásobí hybnost (p = mv), ale zčtyřnásobí kinetickou energii (Ek = ½mv²). Dvoutunový nákladní vůz rychlostí 60 mph má stejnou hybnost jako jednotunové auto rychlostí 120 mph, ale auto má dvojnásobnou kinetickou energii.
- „g“ je síla. g je zrychlení způsobené gravitací (m/s²). Síla na těleso od gravitace je W = mg. Hmotnost 1 kg váží na Zemi 9.81 N; na Měsíci váží 1.62 N, protože g je šestkrát menší.
Související nástroje: Vektorová kalkulačka pro rozklad sil a rychlostí na složky, Elektřina & obvody pro elektromagnetický kontext síly, Vlny & kmitání pro kmitavé příbuzné šikmého vrhu, Rotace & moment síly pro moment hybnosti jako protějšek přímočarého pohybu a Termodynamika & teplo pro energetickou stránku mechaniky.
