Co jsou vlny a kmitání?
Kmitání a vlny jsou tatáž základní fyzika v jiných kostýmech. Kmitání je cokoli, co se pohybuje tam a zpět kolem rovnovážné polohy — závaží na pružině, kyvadlo, napětí na kondenzátoru, výška struny kytary, tlak uvnitř zvukové vlny. Vlna je kmitání, které se šíří: stejný pohyb tam a zpět, ale nyní se v každém bodě prostoru děje v mírně jiný čas, takže snímek ukazuje sinusový vzor, který se šíří. Obojí řídí jediná diferenciální rovnice, rovnice harmonického oscilátoru (SHM) x''(t) = -ω²x(t), jejíž obecné řešení je sinusoida x(t) = A cos(ωt + φ). Odtud plynou perioda T = 2π/ω, frekvence f = ω/(2π), špičková rychlost vmax = Aω, špičkové zrychlení amax = Aω². Šest panelů na této stránce pokrývá kanonické případy: samotný SHM, kyvadlo jako hodiny, vlnovou rovnici v = fλ pro postupné vlny, Dopplerův posuv při pohybu zdroje nebo pozorovatele, LC rezonanci jako elektrický analog závaží na pružině a frekvenci rázů, když interferují dva blízké tóny.
Jedna rovnice, šest tváří: x(t) = A cos(ωt + φ) je šablona harmonického pohybu. Dosaďte správnou fyzikální veličinu za x (úhel pro kyvadlo, náboj pro LC obvod, tlak pro zvuk, elektrické pole pro světlo) a správné ω pro daný systém (√(g/L) pro kyvadlo, 1/√(LC) pro LC obvod, √(k/m) pro závaží na pružině) a tatáž sinusoida popíše všech šest panelů zde. Perioda, frekvence, špičková rychlost a špičkové zrychlení jsou univerzální — mění se jen dosazení symbolu.
Harmonický pohyb — univerzální sinusoida
SHM je každý pohyb, kde obnovující síla (nebo moment, nebo napětí, nebo rozdíl tlaků) je úměrná výchylce od rovnovážné polohy. Závaží na pružině je učebnicový případ: F = -kx dává x'' = -(k/m)x, takže ω = √(k/m). Poloha v libovolném čase je x(t) = A cos(ωt + φ), rychlost v(t) = -Aω sin(ωt + φ), zrychlení a(t) = -Aω² cos(ωt + φ). Při vzorku (A = 0.1 m, ω = 6.28 rad/s) je T = 2π/ω ≈ 1.0005 s, f = ω/(2π) ≈ 0.9995 Hz, vmax = Aω = 0.628 m/s, amax = Aω² ≈ 3.9438 m/s². Zadáte-li také čas t, kalkulačka vypíše okamžité x(t), v(t), a(t) — tři sinusoidy posunuté o 90° fáze. SHM se objevuje v atomových mřížkách (kde modeluje fonony), ve střídavých obvodech (kde napětí a proud kmitají sinusově s ω = 2πf) a v jakémkoli malém kmitání kolem rovnováhy.
Jednoduché kyvadlo — hodiny bez pružiny
Kyvadlo délky L kmitající v gravitaci g při malých úhlech (θ < ~15°) splňuje rovnici SHM s ω = √(g/L). Perioda je slavná T = 2π√(L/g), o níž Galileo jako první poznamenal, že nezávisí na hmotnosti závaží ani na tom, jak daleko kyvadlo rozkmitáte. Při L = 1 m a g = 9.81 m/s² (Země) je T ≈ 2.006 s, kanonické „sekundové kyvadlo“, které dalo metru jeho původní definici (půlperioda = 1 s). Na Měsíci, s g = 1.62 m/s², trvá stejné kyvadlo o délce 1 m T ≈ 4.94 s; na Marsu (g = 3.72 m/s²) T ≈ 3.26 s. Nad amplitudou ~15° začne aproximace malých úhlů ujíždět a vstupuje korekční člen, proto skutečné hodiny s dědečkovským kyvadlem používají dlouhé pomalé kyvadlo (malá amplituda), nikoli krátké rychlé. Hmotnost závaží se v √(g/L) kráti: těžké a lehké závaží na stejné struně mají shodné periody.
Vlnová rovnice v = fλ — jeden řádek, tři neznámé
Každá postupná vlna, ať zvuková, světelná, vodní nebo seismická, se řídí stejným základním vztahem: v = fλ — rychlost vlny se rovná frekvenci krát vlnové délce. Tři režimy zde řeší libovolnou jednu neznámou při daných dvou ostatních. Vzorek (f = 440 Hz, λ = 0.78 m) dává v = 343.2 m/s — přesně rychlost zvuku ve vzduchu při 20°C. Tři referenční rychlosti ukotvují řády velikosti: zvuk ve vzduchu ~343 m/s, zvuk ve vodě ~1480 m/s, světlo ve vakuu c = 3×10⁸ m/s. Chcete-li vlnu převést z jednoho prostředí do druhého, použijete Snellův zákon (popsaný na stránce optiky) pro lom, ale uvnitř jediného homogenního prostředí je v dáno vlastnostmi prostředí (hustotou a tuhostí pro zvuk, permitivitou a permeabilitou pro světlo).
Dopplerův jev — když se výška tónu mění s pohybem
Dopplerův jev je změna pozorované frekvence, když se zdroj a pozorovatel vůči sobě pohybují. Klasický vzorec je f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs), kde horní znaménko v čitateli platí, když se pozorovatel pohybuje ke zdroji (slyší vyšší výšku), a dolní znaménko ve jmenovateli, když se zdroj pohybuje k pozorovateli (také slyší vyšší výšku). Vzorek (f = 1000 Hz, v = 343 m/s, zdroj nehybný, pozorovatel se pohybuje ke zdroji rychlostí 30 m/s): f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087.46 Hz, posuv +87.46 Hz neboli +8.75 %. Stejný zdroj o rychlosti 30 m/s pohybující se k nehybnému posluchači dá stejný výsledek (vzorec je symetrický). Při vysokých rychlostech se stává významnou relativistická korekce; u radarové pistole měřící auto rychlostí 30 m/s se faktor γ liší od 1 jen o ~5×10⁻¹⁷, proto klasický vzorec pro zvuk stačí, ale světlo vyžaduje relativistickou verzi.
LC rezonance — elektrický protějšek kyvadla
LC obvod (induktor L paralelně s kondenzátorem C) je elektrickým analogem závaží na pružině: náboj hraje roli výchylky, proud roli rychlosti, indukčnost L roli hmotnosti a 1/C roli tuhosti pružiny. Náboj kmitá s ω = 1/√(LC), ekvivalentně f = 1/(2π√(LC)). Vzorek (L = 100 mH, C = 10 μF) dává LC = 1×10⁻⁶, √(LC) = 1×10⁻³, takže f ≈ 159.15 Hz s úhlovou frekvencí ω ≈ 1000 rad/s a periodou T ≈ 6.28×10⁻³ s. Skutečné LC obvody mají také odpor, který způsobuje doznívání kmitů — tuto míru doznívání minimalizuje ladič AM rádia, aby čistě vybral stanici. Přidání budicího zdroje přesně na frekvenci f uvede obvod do rezonance, s amplitudami napětí a proudu mnohem většími než mimo rezonanci.
Frekvence rázů — dva tóny, jedna obálka
Když hrají dva tóny o mírně odlišných frekvencích společně, tlak vzduchu je součtem dvou sinusoid — což goniometrií je kosinus na střední frekvenci fp = (f1 + f2)/2 modulovaný pomalou obálkou o frázy = |f1 − f2|. Ucho slyší střední výšku, která se zesiluje a zeslabuje rychlostí rázů. Vzorek (f1 = 440 Hz, f2 = 445 Hz) dává frázy = 5 Hz, fp = 442.5 Hz, periodu rázů 0.2 s — zřetelně slyšitelné pulzování 5krát za sekundu. Pod ~10 Hz se rázy slyší jako samostatné pulzy; nad ~30 Hz splývají v drsnost nebo tremolo. Ladiči klavírů toho využívají: udeří referenční výšku a laděnou strunu, poslouchají rázy a dolaďují, dokud rázy nezmizí. Když jsou struny dokonale naladěny, frázy = 0 a kalkulačka vypíše „Shodné frekvence — žádné rázy“.
Časté omyly
- Perioda a frekvence nejsou totéž. T (sekundy na kmit) a f (kmity za sekundu) jsou převrácené hodnoty. T = 1/f. Kmitání 0.5 Hz trvá dvě sekundy na jeden kmit.
- Perioda kyvadla závisí na amplitudě jen slabě. Přesná perioda pro konečnou amplitudu θ0 je T = T0·(1 + θ0²/16 + πθ0⁶/…). Pro 15° je to korekce 0.7 %, pro 30° asi 1.7 % — v úvodních úlohách obvykle zanedbávaná.
- Dopplerův posuv je stejný, ať se pohybuje zdroj, nebo pozorovatel. Ať se zdroj pohybuje k nehybnému pozorovateli, nebo pozorovatel k nehybnému zdroji stejnou rychlostí, posuv výšky tónu je stejný (nerelativisticky).
- Rezonance není totéž co maximální amplituda. Rezonance je podmínka ωbudicí = ωvlastní. S tlumením je špičková amplituda pod hodnotou bez tlumení; bez tlumení amplituda roste neomezeně (omezena jen nelinearitou).
Související nástroje: Moderní fyzika pro de Broglieho vlny a vlnově-částicovou dualitu, Elektřina & obvody pro analýzu střídavého proudu, kde sedí LC rezonance, a Optika & světlo pro elektromagnetické vlny.
