Kalkulačka mechaniky tekutin

Každé těleso ponořené do tekutiny pociťuje vztlakovou sílu rovnou tíze vytlačené tekutiny: F_b = ρ·V·g, kde ρ je hustota tekutiny, V vytlačený objem a g tíhové zrychlení. Výchozí vzorek (ρ = 1000 kg/m³ sladká voda, V = 0.01 m³, g = 9.81 m/s²) dává F_b ≈ 98.1 N — tíhu 10 kg vody. Proto dřevěný blok o hmotnosti 10 kg (hustota 700 kg/m³) plave napůl ponořen: polovina objemu vytlačí polovinu tíhy. Předmět plave, když je jeho průměrná hustota menší než hustota tekutiny; klesá, když je větší; je v rovnováze, když je přesně stejná. U plynů platí stejný vztah s ρ kolem 1.2 kg/m³ u hladiny moře, proto balon s héliem zvedne jen asi 1 gram na litr — rozdíl hustot je malý.

Ve statické tekutině tlak roste lineárně s hloubkou: P = P₀ + ρg·h, kde P₀ je tlak na hladině (atmosférický, 101 325 Pa u hladiny moře). Výchozí vzorek (20 m sladké vody) dává přetlak ρg·h = 196 200 Pa a celkový tlak 297 525 Pa (asi 2.94 atm, 2.98 bar). Tlak závisí jen na hloubce a hustotě tekutiny, ne na tvaru nádoby — „hydrostatický paradox“ — protože každý prvek tekutiny v hloubce h má nad sebou stejný sloupec tíhy. Pascalův princip: změna tlaku působící na uzavřenou tekutinu se přenáší nezmenšena do všech částí, proto hydraulické zvedáky násobí sílu: malá síla na malém pístu vytvoří stejný tlak jako ten, který zvedá velký píst s úměrně velkou silou.

Pro ustálené, nestlačitelné, neviskózní proudění se energie na jednotku objemu zachovává podél každé proudnice: P + ½ρv² + ρgh = konst. Výchozí vzorek začíná na atmosférickém tlaku, v₁ = 2 m/s, h₁ = 10 m a končí v₂ = 4 m/s, h₂ = 5 m — panel vrátí P₂ ≈ 144 375 Pa s konstantou asi 201 425 Pa. Pokles výšky přidává potenciální tlak; nárůst rychlosti odebírá statický tlak. Na tomto principu fungují Venturiho trubice (zúžení v potrubí zrychlí proud a sníží tlak), karburátor (hrdlo ve vzduchovém kanálu snižuje tlak a nasává palivo), křídlo letadla (horní plocha zrychluje vzduch, snižuje jeho tlak a zvedá křídlo) a Pitotova trubice (tlakový rozdíl měří rychlost). Bernoulli selhává všude tam, kde proudění není ustálené, nestlačitelné nebo neviskózní — zejména při vysokých Reynoldsových číslech, kde turbulence činí tlak šumivým a vzorec se průměruje v čase. Vztlak profilu je hlavně třetí Newtonův zákon — vzduch odkloněný dolů — s Bernoulliho tlakovým rozdílem jako účetnictvím, ne příčinou.

Objemový průtok je Q = A·v, kde A je plocha průřezu a v střední rychlost. Výchozí vzorek (A = 0.05 m², v = 3 m/s) dává Q = 0.15 m³/s = 150 l/s, neboli 9 m³ za minutu. Pro nestlačitelné proudění proměnlivým potrubím vynucuje zachování hmoty A₁·v₁ = A₂·v₂: zúžení průřezu na polovinu zdvojnásobí rychlost. Proto zahradní hadice s palcem na konci střílí dál a proto zúžení řeky v peřejích dělá divokou vodu. Pravidlo kontinuity platí lokálně v každém okamžiku; rychlost si „nepamatuje“ dřívější úseky. Pro stlačitelné proudění (plynovody, proudové motory) je správnou veličinou hmotnostní průtok ρA·v, který je konstantní, když se nepřidává ani neodebírá tekutina.

Pro kouli o poloměru r pohybující se malou rychlostí tekutinou o viskozitě μ je odporová síla F_d = 6πμr·v. Výchozí vzorek (μ = 0.001 Pa·s voda, r = 1 cm, v = 0.5 m/s) dává F_d ≈ 9.42×10⁻⁵ N (asi 94 μN). Vztah je lineární v v, protože při nízkém Reynoldsově čísle je úplav symetrický a dominuje viskozita; práce, kterou koule vykoná proti odporu, jde do viskózního ohřevu tekutiny. Stokesův odpor funguje jen tehdy, když Re < 1 — pro kouli o průměru 1 cm ve vodě to znamená rychlosti pod asi 10⁻⁴ m/s. Při vyšších rychlostech se součinitel odporu stává přibližně konstantním a síla se mění jako v² místo v. Stokesův odpor řídí usazování prachu ve vzduchu, plavání bakterií a pomalé klesání jemných sedimentů ve vodě.

Bezrozměrný poměr Re = ρvL/μ srovnává setrvačné síly s viskózními. Výchozí vzorek (voda, v = 1 m/s, L = 0.1 m) dává Re ≈ 100 000, hluboko v turbulentním režimu. Empiricky: Re < ~2 000 znamená laminární proudění (hladké, předvídatelné, rovnoběžné proudnice); Re > ~4 000 znamená turbulentní (chaotické, mísící se, víry); úzké pásmo mezi nimi je přechodové. Proud krve v aortě (Re ~ 4 000) je na hranici; v kapilárách (Re ~ 0.001) je pevně laminární a platí Stokesův odpor. Vzduch nad křídlem letadla je záměrně turbulentní, aby oddálil odtržení proudu. Reynoldsovo číslo je důvod, proč mají potrubí „kritickou rychlost“, nad kterou náklady na čerpání skokově rostou, a proč kouř ze svíčky stoupá několik centimetrů jako hladký laminární sloupec, než se rozpadne na chaotické kudrlinky.

• Archimédova síla pochází z toho, že dno tlačí nahoru. Pochází z integrálu tlaku přes celou smáčenou plochu. Tlak je u dna vyšší, ale příspěvky bočních ploch jsou také nenulové a čistý výsledek je přesně tíha vytlačené tekutiny — proto geometrie nádoby odpověď nemění.
• Křídla letadel vztlak získávají, protože horní plocha je delší a vzduch „musí dohnat“. Vztlak pochází z tlakového rozdílu vytvářeného cirkulací a tvarem křídla; rovnost časů průletu je lidové odvození, které náhodou dává správný číselný výsledek ze špatného důvodu. U křídel při nízké rychlosti je dominantním mechanismem rozložení tlaku, ne žádné „zrychlení nad horní stranou“.
• Stokesův zákon funguje při jakékoli rychlosti. Jen tehdy, když Re < 1. Ocelová kulička o průměru 1 cm padající ve vodě dosáhne Re = 1 při několika desetinách milimetru za sekundu; nad tím se úplav stává nesymetrickým a odpor roste směrem k chování v². Stokes podhodnocuje odpor u všeho, co se podobá kuličce.
• Tlak vždy tlačí od tekutiny ven. Tlak je ve statické tekutině izotropní: tlačí stejně do všech směrů. „Tlak zdola“ na ponořenou plochu je jen složka téhož tlaku směřující dolů, který tlačí do stran i nahoru na každý čtvereční centimetr.

Související nástroje: Mechanika pro sílu, práci a energii, Termodynamika pro stlačitelné proudění a dynamiku plynů a Převodník jednotek pro přepínání mezi Pa, bar, atm a psi.