Vektorová kalkulačka

Operace s vektory ve 2D a 3D s vizualizací šipek na plátně v reálném čase. Počítejte skalární součin, vektorový součin, úhel, velikost, jednotkový vektor a součet/rozklad vektorů. Také: Mechanika | Obvody | Termodynamika.
Vyberte operaci:
x y
x y
Operace s vektory: skalární součin: A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz pro 3D). Vektorový součin (3D): A×B = (AyBz-AzBy, AzBx-AxBz, AxBy-AyBx). Úhel: θ = arccos(A·B/(|A||B|)). Průmět: proj_BA = (A·B/|B|²) B. Jednotkový vektor: u = A/|A|. Velikost: |A| = √(Ax² + Ay² + Az²).
Co jsou vektory?

Vektor je veličina s velikostí i směrem: síla, rychlost, zrychlení, hybnost, elektrické a magnetické pole, moment hybnosti. Naproti tomu skalár je jen číslo: hmotnost, čas, energie, teplota. Geometricky se vektor kreslí jako šipka, jejíž délka je velikost a jejíž úhel udává směr; algebraicky je to uspořádaný seznam složek, dvou v rovině a tří v prostoru. Šest operací pokrývá téměř vše, co s vektory děláte: velikost |A| = √(Ax² + Ay² + Az²), součet po složkách, skalární součin A·B = ΣAiBi, vektorový součin A×B (jen 3D), úhel z cosθ = A·B/(|A||B|) a jednotkový vektor / průmět. Panel implementuje všech šest ve 2D i 3D s okamžitým vykreslením na plátně — vidět dvě šipky a jejich součet nebo součin je rozdíl mezi abstraktní manipulací a fyzikální představou.

Tři součiny dělají všechno, co potřebujete: skalární součin (skalár měřící souhlas směru, A·B = |A||B|cosθ), vektorový součin (vektor kolmý na oba vstupy, velikost |A||B|sinθ) a operátor průmětu (složka A ve zvoleném směru). Jsou účetnictvím každého fyzikálního vzorce, který obsahuje více než jeden vektor.
Velikost a kanonický příklad ve 2D

Pravoúhlý trojúhelník 3-4-5 je kanonický příklad pro 2D vektory. Vezměme A = (3, 4). Jeho velikost je |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Jeho směr od kladné osy x je arctan(4/3) ≈ 53.13°. Každý 2D vektor lze zapsat jako velikost krát jednotkový vektor ukazující tímto směrem: A = 5·(0.6, 0.8). Panel rozkladu přijme velikost a úhly θ a φ a vrátí složky x, y, z buď při sférické konvenci (x = r cosθ cosφ, y = r cosθ sinφ, z = r sinθ), nebo rovinné (kde φ se ignoruje, x = r cosθ, y = r sinθ). Pro r = 10, θ = 36.87° v režimu 2D to vrátí (8, 6, 0) — pravoúhlý trojúhelník 6-8-10, zvětšený z původního 3-4-5. Rozpoznání těchto celočíselných trojúhelníků je zkratka, jak poznat, které složky jsou kolmé, bez použití goniometrie.

Skalární součin — skalární míra souhlasu směru

Pro dva vektory A a B je skalární součin A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz) skalár rovný |A||B|cosθ — tedy součinu velikostí krát kosinus úhlu mezi nimi. Výchozí 2D vzorek (A = (3, 4), B = (5, 2)) dává A·B = 15 + 8 = 23, velikosti |A| = 5 a |B| = √29 ≈ 5.385 a cosθ = 23/(5 × 5.385) = 23/26.93 ≈ 0.854, tedy θ ≈ 31.33°. Tři důsledky znaménka nesou veškerou interpretaci: cosθ > 0 znamená ostrý úhel a vektory ukazují zhruba stejným směrem; cosθ < 0 znamená tupý úhel a vektory se navzájem brzdí; cosθ = 0 znamená kolmost. Skalární součin je práce, kterou síla F vykoná podél posunutí d (W = F·d), a kosinus je důvod, proč tlačení pod úhlem je méně účinné než tlačení ve směru pohybu.

Vektorový součin — vektor kolmý na oba vstupy

Vektorový součin je operace jen pro 3D, jejíž výsledkem je vektor kolmý na oba vstupy, s velikostí |A||B|sinθ a směrem určeným pravidlem pravé ruky (ukazováček ve směru A, prostředník ve směru B, palec udává A×B). Po složkách je A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx). Výchozí 3D vzorek (A = (2, 3, 4), B = (5, 1, 2)) dává A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13). Vektorový součin je antisymetrický: B×A = −A×B, takže záměna vstupů obrátí znaménko. Tři výskyty ve fyzice: moment síly τ = r×F (rotační síla), moment hybnosti L = r×p (orbitální moment hybnosti) a magnetická síla F = qv×B na pohybující se náboj. Velikost |A×B| se rovná obsahu rovnoběžníku, který dva vektory vymezují, proto výsledky vektorového součinu vždy popisují plochu nebo rotaci. Moment síly je vektorový součin v akci: τ = r×F má velikost |r||F|sinθ, takže tlačení přes osu dává nulu a delší klíč dává víc.

Úhel mezi vektory

Jakmile máte skalární součin a velikosti, úhel je jedna arkuskosinus: cosθ = A·B/(|A||B|), s θ v [0, π]. Malý skalární součin vzhledem k velikostem znamená téměř kolmé vektory; skalární součin rovný |A||B| znamená, že vektory ukazují stejným směrem (θ = 0); skalární součin rovný −|A||B| znamená opačný směr (θ = π). Vzorec je stejný ve 2D i 3D — liší se jen dimenze součtů složek. Geometricky lze skalární součin chápat jako průmět A na B (nebo B na A) vynásobený velikostí druhého, takže kosinus je doslova poměr průmětu.

Jednotkový vektor a průmět

Jednotkový vektor je vektor o velikosti 1 ukazující stejným směrem jako původní: u = A / |A|. Jednotkové vektory jsou způsob, jak popsat „čistý směr“; bázové vektory i, j, k kartézských souřadnic jsou kanonické příklady a libovolný směr ve 3D lze zapsat jako jejich lineární kombinaci. Průmět A na B (neboli složka A ve směru B) je projBA = (A·B / |B|²) · B — část A ležící podél B. Skalární verze (A·B/|B|) je znaménková délka tohoto průmětu. Právě proto je skalární součin vzorcem pro práci: složka posunutí ve směru síly krát velikost síly je vykonaná práce.

Mylné představy
  • Skalární součin je násobení vektorů. Ano, ale je to skalární součin — dává číslo, ne vektor. Podobně vektorový součin je vektorový součin. Nazývat je „násobení“ skrývá, že mají zcela odlišné výsledky.
  • Vektorový součin je skalár. Ne. Ve 2D se kolmá složka někdy nazývá skalár (determinant axby − aybx), ale ve 3D je vektorový součin skutečně vektor. Velikost i směr mají fyzikální smysl.
  • Vektorový součin je komutativní. Ne — je antikomutativní: A×B = −B×A. Pořadí záleží: moment síly r×F má opačný smysl než F×r.
  • Vektor má pevné umístění. Ne. Vektory jsou volné — můžete je posouvat po stránce, aniž se změní. Pevná je jejich velikost a směr; jen některé vektory ve fyzice (polohové vektory, elektrické pole v bodě) jsou vázány na místo.

Související nástroje: Mechanika pro moment síly, práci a moment hybnosti v souvislostech, Rotační dynamika pro to, jak vektorový součin tvoří moment hybnosti, a Obvody pro magnetickou sílu F = qv×B.