Kalkulačka rotace & momentu síly

Rotace je kinematika a dynamika věcí, které se točí — kol, převodů, planet, molekul, hurikánů. Účetnictví téměř řádek po řádku odpovídá lineární verzi: lineární posunutí se stává úhlovým posunutím θ (radiány), lineární rychlost úhlovou rychlostí ω (rad/s), lineární zrychlení úhlovým zrychlením α (rad/s²), hmotnost momentem setrvačnosti I (kg·m²) a síla momentem síly τ (N·m). Druhý Newtonův zákon má rotační tvar τ = I·α a moment hybnosti L = I·ω se zachovává bez vnějšího momentu síly, přesně jako lineární hybnost se zachovává bez vnější síly. Šest kalkulaček na tomto panelu pokrývá pracovní vzorce: dostředivou sílu pro kruhový pohyb, převod úhlové rychlosti, moment síly, moment setrvačnosti pro běžné tvary, moment hybnosti s rotační kinetickou energií a odstředivou pseudosílu v rotujících soustavách.

Každé těleso pohybující se po kružnici mění směr, což je zrychlení, které vyžaduje sílu — směřující ke středu. Velikost je F = mv²/r = mω²r. Výchozí vzorek (m = 1 kg, v = 10 m/s, r = 2 m) dává F = 50 N a dostředivé zrychlení 50 m/s² (≈ 5 g), s úhlovou rychlostí 5 rad/s (≈ 47.75 ot./min). Síla je skutečná — u kuličky na provázku je to napětí provázku, u auta v zatáčce tření mezi pneumatikami a vozovkou, u obíhající družice gravitace. Odeberte sílu (provázek praskne, pneumatiky ztratí přilnavost) a těleso odletí tečně, ne radiálně ven: ten tah ven, který pociťujete v zatáčce, je odstředivá pseudosíla v rotující soustavě, ne dostředivá síla v inerciální soustavě.

Totéž rotující těleso lze popsat v otáčkách za minutu (RPM), v radiánech za sekundu (rad/s, jednotka SI), v otáčkách za sekundu (Hz) nebo ve stupních za sekundu. Výchozí vzorek (1200 RPM) se stane ω ≈ 125.66 rad/s, 7 200 deg/s nebo 20 Hz, s periodou 0.05 s na otáčku. Vztahy: ω = 2πf = 2π n/60, kde n jsou RPM; faktor 2π převádí otáčky na radiány a 60 převádí minuty na sekundy. Tyto převody jsou pro učebnicovou práci méně důležité než pro motory, kde jsou RPM údajem na přístroji a moment síly (v N·m) je pracovním výkonem.

Moment síly je rotační obdoba síly: τ = r·F·sinθ, kde r je délka momentového ramene, F působící síla a θ úhel mezi nimi. Výchozí vzorek (F = 50 N, r = 0.3 m, θ = 90°) dává τ = 15 N·m. Činitel sinθ znamená, že síla je nejúčinnější pod 90° (kolmo na páku); tlačení rovnoběžně s pákou (θ = 0 nebo 180°) dává nulový moment, ať tlačíte jakkoli silně. Proto klíč nejsnáze otáčí šroubem, když tlačíte kolmo na rukojeť, a proto delší rukojeť dává větší moment při stejné síle — což je také důvod, proč jsou klíče, kliky a volanty větší než hřídele, které točí.

Moment setrvačnosti je rotační analogie hmotnosti a závisí na tom, jak je hmota rozložena kolem osy. Pro plnou kouli o hmotnosti m a poloměru R platí I = (2/5)mR²; pro plný kotouč nebo válec kolem středové osy I = (1/2)mR²; pro tenký prstenec nebo obruč I = mR²; pro homogenní tyč kolem středu I = (1/12)mL². Výchozí vzorek (plná koule, m = 2 kg, R = 1 m) dává I = 0.8 kg·m². Praktickým důsledkem je, že obruč se roztáčí hůř než kotouč stejné hmotnosti a poloměru (veškerá hmota je na obvodu) a dutá koule se roztáčí hůř než plná. Čím dál je hmota od osy, tím větší I — proto krasobruslař, který přitáhne paže, zrychlí: I klesne, ω vzroste a L = Iω zůstává konstantní.

Moment hybnosti je L = Iω v kg·m²/s; rotační kinetická energie je Ek = ½Iω². Výchozí vzorek (I = 5 kg·m², ω = 10 rad/s) dává L = 50 kg·m²/s a Ek = 250 J. Zákon zachování je stejný jako u lineární hybnosti: bez vnějšího momentu síly L zůstává konstantní. Vrchol točí tak dlouho, dokud je tření (vnější moment) malé; volně obíhající planeta zachovává moment hybnosti tím, že zametá stejné plochy za stejné časy (Keplerův druhý zákon). Společné tvrzení vysvětluje, proč se gyroskopy brání naklánění: změna směru L vyžaduje moment síly a rychle se točící gyroskop má tolik L, že malé momenty ho sotva vychýlí.

V rotující soustavě těleso v klidu pociťuje fiktivní vnější sílu rovnou dostředivé síle, kterou by potřebovalo, aby zůstalo na kružnici. Velikost je F = mω²r, stejná jako dostředivý vzorec. Výchozí vzorek (m = 0.1 kg, ω = 100 rad/s, r = 0.15 m) dává F = 150 N ven, tečnou rychlost 15 m/s a g-sílu ~152.91 g. Pseudosíla neexistuje v inerciální (nerotující) soustavě, kde vnitřní síla od provazu nebo stěny je dostředivou silou a žádný tah ven vůbec není. Odstředivá síla je to, co drží vodu v kbelíku při svislém kyvu, co vysouší prádlo v pračce, co odděluje složky krve v centrifuze a co přitlačuje cestující ke stěně rotujícího návrhu vesmírné stanice. Obě síly jsou podle definice stejně velké a opačně orientované.

• Odstředivá síla je skutečná síla tlačící ven. Je to fiktivní síla, která se objeví jen v rotující (neinerciální) soustavě. V inerciální soustavě je jedinou silou dostředivá síla dovnitř — to, co pociťujete jako „ven“, je vaše setrvačnost, která se brání vnitřnímu tahu.
• Moment hybnosti udržuje vrchol v pohybu navždy. Moment hybnosti se zachovává jen bez vnějšího momentu síly. Vrchol zpomaluje, protože tření na hrotu je vnější moment; ložisko bez tření (hluboké vakuum, supravodič) může kolo roztáčet dny, ale ne navždy.
• Těžší tělesa mají větší momenty setrvačnosti. Těžší tělesa stejného tvaru ano; ale dutý obruč a plný kotouč o stejné hmotnosti mohou mít velmi odlišné momenty, protože rozhoduje rozložení, ne jen celková hmotnost.
• Těleso v kruhovém pohybu nemá výslednou sílu. Má nulovou výslednou sílu, jen když se pohybuje konstantní rychlostí po přímce. Kruhová dráha je konstantní zrychlení směrem ke středu, vyžadující konstantní vnitřní sílu. Odeberte sílu a těleso z kruhu odletí.

Související nástroje: Mechanika pro lineární dynamiku pod tím, Tekutiny pro víry a rotující proudění a Moderní fyzika pro kvantový moment hybnosti, který se objevuje v atomech.