Fyzikální simulace

Interaktivní fyzikální simulace s animací na plátně v reálném čase. Zahrnuje šikmý vrh, jednoduché a dvojité kyvadlo, interferenci vln, siločáry elektrického pole a skládání vektorů sil. Také: Mechanika | Vektorová kalkulačka | Vlny.
Šikmý vrh: trajektorie s průběhem letu v reálném čase. x(t)=v0·cosθ·t, y(t)=h0+v0·sinθ·t-½gt². Dolet R=v0²sin(2θ)/g (h0=0). Maximální výška H=h0+v0²sin²θ/(2g).
Co jsou tyto fyzikální simulace?

Pět animací na plátně v reálném čase ukazuje, jak rovnice fyziky vypadají v pohybu: trajektorie míčku pod gravitací, kyv jednoduchého kyvadla a chaotický tanec dvojitého kyvadla, interferenční obrazec dvou kruhových vln, siločáry kolem bodových nábojů a mnohoúhelníkové skládání tří sil. Matematika je totožná se vzorci jinde na webu; plátno vám ukáže, jak řešení vypadá v čase a prostoru. Každý panel přijme několik vstupů a vytvoří buď číselný údaj (střela, skládání sil, elektrické pole), nebo vizuální výstup (kyvadlo, interference vln). Dohromady tvoří malou laboratoř ve vašem prohlížeči, kde můžete změnit parametr a okamžitě sledovat změnu výsledku.

Simulace jsou rovnice viditelné: stejná algebra, stejné konstanty, stejné okrajové podmínky — vykresleny jako animace, která vám dovolí měnit parametry a sledovat změnu výsledku. Používejte je k budování intuice: změňte úhel výstřelu a sledujte, jak dolet vrcholí při 45°; změňte znaménko náboje a sledujte, jak se siločáry obrátí; změňte vlnovou délku a sledujte, jak se interferenční obrazec zmenšuje nebo rozšiřuje.
Šikmý vrh — typická parabola

Míček vypuštěný počáteční rychlostí v0 pod úhlem θ z výšky h0 sleduje parametrické rovnice x(t) = v0 cosθ · t a y(t) = h0 + v0 sinθ · t − ½g t². Plátno vykresluje trajektorii, jak míček letí, a hlásí konečný dolet, dobu letu a maximální výšku. Výchozí vzorek (v0 = 25 m/s, θ = 45°, h0 = 0, g Země = 9.81 m/s²) dává dobu letu ≈ 3.604 s, dolet ≈ 63.70 m a maximální výšku ≈ 15.929 m. Přepněte na předvolbu Měsíce (g = 1.62) a tentýž výstřel dosáhne ≈ 385.8 m za ≈ 21.82 s — stejná parabola, šestkrát delší a dál, přesně to, co dělá lunární sport tak absurdním a co astronaut Alan Shepard využil se svou provizorní železnou holí. Plátno překreslí dráhu s červenou tečkou sledující polohu míčku a přímo na diagramu popisuje dolet a maximální výšku.

Kyvadlo — harmonické a chaotické

Jednoduché kyvadlo o délce L puštěné z úhlu θ se řídí rovnicí θ″(t) = −(g/L) sinθ, zde integrovanou semi-implicitní Eulerovou metodou. Pro malé amplitudy (sinθ ≈ θ) je pohyb harmonický s periodou T = 2π√(L/g); výchozí L = 1.5 m na Zemi dává T ≈ 2.458 s. Pro větší amplitudy perioda mírně roste, protože sinθ už není dobrá lineární aproximace — kyv o 60° je asi o 7 % pomalejší než kyv o 5° stejné délky. Dvojité kyvadlo je jiné zvíře: dvě tuhá ramena s hmotami v kloubech, řízená vázanými nelineárními rovnicemi, integrovaná stejně, ale projevující chaos. Nepatrné rozdíly v počátečním úhlu vedou během několika cyklů k divoce odlišným dráhám — charakteristický znak deterministického chaosu, proto jsou dvojitá kyvadla učebnicovým příkladem chaotického mechanického systému. Přepněte z „Jednoduché“ na „Dvojité“ v rozbalovací nabídce, objeví se druhé rameno, převezme počáteční úhel θ2; stiskněte Start a sledujte, jak se vzor kyvu nepředvídatelně rozbíhá. Simulace jednoduchého kyvadla také tlumí každý snímek (faktor 0.9995), jako skutečné kyvadlo, které ztrácí energii na odpor vzduchu a tření v závěsu.

Interference vln — superpozice dvou zdrojů

Dva bodové zdroje vysílají kruhové vlny o stejné vlnové délce λ; v každém bodě roviny je výsledná porucha součtem obou. Tam, kde hřbety obou dorazí ve fázi, se amplituda zdvojnásobí (konstruktivní interference); kde se hřbet jedné potká s údolím druhé, vzájemně se ruší (destruktivní interference). Podmínka pro konstruktivní interferenci je r1 − r2 = mλ pro celé m; pro destruktivní je r1 − r2 = (m + ½)λ. Plátno vykreslí mapu intenzity (světlé = vysoká amplituda, tmavé = zrušení) a překryje uzlové čáry, kde r1 − r2 = mλ (s volbou čárkovaných čar). Výchozí vzdálenost (120 px = 3λ) ukazuje jasné střídavé světlé a tmavé pásy podél kolmice ke spojnici zdrojů — stejný vzor, který dává světlé a tmavé proužky v Youngově dvouštěrbinovém experimentu a barevné pásy světla odraženého od olejového filmu.

Siločáry elektrického pole — hustota kóduje sílu

Elektrické pole kolem bodového náboje Q je radiální vektor velikosti E = kQ/r²; pro dva náboje je pole v libovolném bodě vektorový součet Ecelkem = E1 + E2. Plátno vykresluje 16 siločar ze zdrojové oblasti pomocí Eulerovy metody s krokem 4 px ve směru lokálního pole. Čáry vycházejí z kladných nábojů (Q > 0) a končí na záporných (Q < 0); ve výchozím vzorku (Q1 = +5, Q2 = −3, s |Q1·Q2| = 15) obrazec ukazuje čáry vycházející z červeného + náboje vlevo, zakřivené ven, a většinu z nich končící na modrém − náboji vpravo, s několika unikajícími do nekonečna (protože velikosti jsou nestejné). Hustota siločar je úměrná síle pole: těsně nahuštěné čáry znamenají silné pole, řídké čáry slabé. Obrácení obou znamének obrátí směr čar, aniž by se změnila geometrie.

Skládání sil — metoda mnohoúhelníku

Když na těleso působí více sil, výslednice je jejich vektorový součet, ne skalární součet. Metoda mnohoúhelníku (nebo hlava-ocas) skládá vektory sil hrot-na-ocas od počátku; výslednice R je vektor od počátku ke konečnému hrotu. Po složkách: Rx = ΣFi cosθi, Ry = ΣFi sinθi, |R| = √(Rx² + Ry²) a θR = arctan(Ry/Rx). Plátno kreslí každou sílu jako barevnou šipku (F1 červená, F2 modrá, F3 zelená) od počátku, poté přerušovanou fialovou čáru od počátku ke konečnému hrotu znázorňující výslednici, plus světle šedé lomené čáry mnohoúhelníku sledující dráhu hrot-na-ocas. Výchozí vzorek (F1 = 30 N pod 0°, F2 = 25 N pod 60°, F3 = 15 N pod 150°) dává Rx ≈ 29.51 N, Ry ≈ 29.15 N, |R| ≈ 41.48 N a θR ≈ 44.65° — velikost větší než kterákoli vstupní síla, protože směry se částečně posilují.

Časté omyly
  • Plátno ukazuje skutečnou fyziku, ne náčrt. Každý snímek je spočítán z podkladové rovnice (Eulerova integrace pro kyvadla, superpozice pro vlny, vektorový součet pro síly). Změníte-li vstupy, změníte matematiku; animace je přímou numerickou vizualizací.
  • Perioda kyvadla závisí na amplitudě. Pro malé amplitudy (menší než asi 15°) je perioda téměř nezávislá na amplitudě a rovná se T = 2π√(L/g). Pro větší amplitudy perioda znatelně roste — kyv o 90° trvá asi o 18 % déle, než předpovídá vzorec pro malé úhly. „Sekundové kyvadlo“ hodin s dědečkovským kyvadlem je navrženo pro malý kyv přesně proto, aby jeho perioda byla neměnná.
  • Siločáry elektrického pole jsou skutečné. Jsou vizualizací pole, ne fyzickými provázky. Skutečné elektrické pole je vektor v každém bodě prostoru; čáry jen spojují body, kde je pole plynule tečné. Siločáru nelze „uchopit“.
  • Metody mnohoúhelníku a rovnoběžníku dávají různé odpovědi. Dávají stejnou výslednici. Metoda rovnoběžníku funguje pro dvě síly; metoda mnohoúhelníku se přirozeně rozšiřuje na libovolný počet. Obě jsou ekvivalentní aplikace vektorového sčítání.

Související nástroje: Mechanika pro číselné kinematické vzorce, Vektorová kalkulačka pro rozklad na složky a skalární/vektorový součin, Vlny & kmitání pro úplné rovnice postupné vlny, Elektřina & obvody pro proudové/napěťové protějšky a Optika & světlo pro optickou verzi vlnové interference (Youngův dvouštěrbinový experiment).