Každé měření je číslo s poctivým doprovodem: jak jisti můžeme být? Tento doprovod má dvě části — náhodnou chybu, kterou opakování měření zprůměruje, a systematickou chybu, zkreslení, které přetrvává, ať měříte kolikrát chcete. Poctivé uvedení jakékoli veličiny je proto x ± u(x), kde u je dobře definovaná nejistota; symbol ± je zkratkou pro „přibližně tento rozsah s touto pravděpodobností“. Čtyři kalkulačky na tomto panelu pokrývají pracovní nástroje: počítání významných číslic (zkratka účetnictví), šíření nejistot přes součty, rozdíly, součiny, podíly a mocniny (kalkulus chyb), směrodatnou odchylku (jak rozptýlená data jsou) a kombinovanou nejistotu ve stylu GUM pro více nezávislých složek.
Dva druhy chyb, dvě opačná chování: náhodná chyba klesá s odmocninou z N (σ/√N), takže průměrování vždy vyhrává; systematická chyba se vůbec nezmenšuje, a proto na kalibraci záleží víc než na opakování. Měření může mít malé σ a přesto být chybné kvůli zkreslení.
Významné číslice — zkratka účetnictví
Významná číslice je číslice známá s jistotou; nuly, kterými se číslo doplňuje na konvenční velikost, nejsou. Pět pravidel: (1) všechny nenulové číslice jsou významné, (2) nuly mezi nenulovými jsou významné, (3) vedoucí nuly nejsou významné (jen umisťují desetinnou čárku), (4) koncové nuly za desetinnou čárkou jsou významné, (5) koncové nuly bez desetinné čárky jsou nejednoznačné (použijte vědecký zápis). Výchozí hodnota 0.0070800 má tedy 5 významných číslic (7, 0, 8, 0, 0) a čte se jako (7.0800 ± 0.00005)×10−3. Uvedení 0.0070800 znamená stejnou přesnost jako uvedení 7.0800×10−3; uvedení 0.00708 znamená tisícinásobně nižší přesnost. Zkratka funguje pro učebnicové výkazy; u skutečného měření je poctivým číslem nejistota u a významné číslice jsou pohodlný způsob, jak ji vyjádřit, aniž byste pokaždé psali ±.
Šíření chyb — kalkulus chyb
Pro z = f(x, y) je pravidlo pro kombinování nezávislých nejistot σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². Pro čtyři pracovní operace se to redukuje na: sčítání/odčítání sčítá absolutní chyby v kvadratuře σz = √(σx² + σy²); násobení/dělení sčítá relativní chyby v kvadratuře σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²); mocnina xn škáluje relativní chybu faktorem |n|: σz/z = |n|σx/x. Výchozí vzorek (x = 10 ± 0.3, y = 5 ± 0.2, sčítání) dává z = 15 a σz ≈ 0.36, tedy 15.00 ± 0.36 (asi 2.4 % relativně). Přepnutí na násobení se stejnými vstupy dává z = 50 ± 2.5 (5 % relativně) — stejné ± hodnoty, velmi odlišné pravidlo šíření, a relativní nejistota součinu se rovná kvadratickému součtu relativních nejistot. Absolutní nejistoty jsou správná měna pro součty a rozdíly; relativní nejistoty jsou správná měna pro součiny a podíly.
Směrodatná odchylka — rozptyl dat
Směrodatná odchylka σ je kvadratický průměr odchylek od střední hodnoty. Existují dvě verze podle toho, co data představují: populační σ = √(Σ(xi − x̄)² / n) popisuje rozptýlení každého člena známé množiny; výběrová s = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) odhaduje rozptýlení větší populace, ze které byl vzorek odebrán. Výchozí vzorek (10 hodnot od 12.2 do 12.8 se střední hodnotou 12.5) dává populační σ ≈ 0.1732, výběrové s ≈ 0.1826 a SEM = s/√N ≈ 0.0577. Nejistota samotného průměru je σ/√N (nebo s/√N pro výběrovou verzi), a proto průměrování 25 měření jedné veličiny sníží nejistotu oproti jednomu měření pětkrát. Směrodatná odchylka také slouží k intervalům spolehlivosti: pro normální rozdělení obsahuje ±1σ 68.3 %, ±2σ 95.5 %, ±3σ 99.7 %.
Rozšířená nejistota — kombinace všech zdrojů
Když má měření více nezávislých zdrojů chyb (rozlišení přístroje, kalibrace, opakovatelnost, teplotní drift, vliv obsluhy), kombinovaná nejistota ve stylu GUM je uc = √(Σui²). Zdroje se klasifikují jako typ A (statistické, z dat) a typ B (vše ostatní, s nejistotami odhadnutými úsudkem nebo podle údajů výrobce); oba vstupují do uc stejným způsobem. Koeficient pokrytí k pak škáluje interval na zvolenou spolehlivost: k = 1 pro 68.3 %, k = 2 pro 95.5 %, k = 2.58 pro 99.0 %, k = 3 pro 99.7 %. Výchozí vzorek (zdroje 0.15, 0.08, 0.05, 0.03 mm, k = 2) dává uc ≈ 0.1797 mm a U = k·uc ≈ 0.3595 mm při 95.5 %. Uvedená hodnota se pak stane (hodnota měření ± 0.36) mm s touto spolehlivostí. GUM (ISO/IEC Guide 98-3) je mezinárodní norma pro tento postup. Složky typu A pocházejí ze statistiky opakovaných odečtů, typu B z údajů přístrojů a úsudku — obě se kombinují stejným kvadratickým součtem.
Časté omyly
- Více významných číslic znamená přesnější měření. Jen tehdy, pokud tyto číslice skutečně pocházejí z měření. Délka „12.34567 m“ zapsaná ručně není přesná na jednu část z deseti milionů — významné číslice slouží ke sdělení přesnosti, ne k jejímu vymýšlení. Uvádět ± je poctivější než doplňovat vymyšlené číslice.
- Systematickou chybu lze snížit průměrováním. Opak: náhodné chyby se průměrováním snižují jako 1/√N, ale systematické zkreslení (špatně kalibrovaná váha, nesouosá nula) zůstává, ať uděláte kolik měření chcete. Identifikujte zkreslení a průměrování ho nezruší. Toto je past „data vypadají tak reprodukovatelně!“ v rozbitém experimentu.
- Směrodatná odchylka vypovídá o chybě jednoho měření. Charakterizuje rozptýlení rozdělení, ne chybu jakéhokoli jednotlivého pokusu. Standardní chyba průměru (s/√N) je relevantní veličina, když uvádíte, jak dobře známe x̄ ze vzorku o N prvcích.
- Nejistota je vždy ± v poslední číslici. Standardní konvence zní „zaokrouhlete nejistotu na jednu (někdy dvě) významné číslice a pak zaokrouhlete hodnotu tak, aby odpovídala“. Měření 12.345678 ± 0.234 by se mělo uvést jako 12.35 ± 0.23, ne 12.345678 ± 0.234.
Související nástroje: Statistika pro základní pravděpodobnostní rozdělení, Mechanika pro experimentální uspořádání, která čísla produkují, a Kalkulačka pro algebru šíření.
