Was ist Drehbewegung?
Rotation ist die Kinematik und Dynamik von Dingen, die sich drehen — Räder, Zahnräder, Planeten, Moleküle, Wirbelstürme. Die Buchführung verläuft fast Zeile für Zeile parallel zur linearen Version: Die lineare Verschiebung wird zur Winkelverschiebung θ (Radiant), die lineare Geschwindigkeit zur Winkelgeschwindigkeit ω (rad/s), die lineare Beschleunigung zur Winkelbeschleunigung α (rad/s²), die Masse zum Trägheitsmoment I (kg·m²) und die Kraft zum Drehmoment τ (N·m). Newtons zweites Gesetz nimmt in der Rotation die Form τ = I·α an, und der Drehimpuls L = I·ω bleibt ohne äußeres Drehmoment erhalten, genau wie der lineare Impuls ohne äußere Kraft. Die sechs Rechner dieses Bereichs decken die Arbeitsformeln ab: Zentripetalkraft für Kreisbewegungen, Umrechnung der Winkelgeschwindigkeit, Drehmoment, Trägheitsmoment für gängige Formen, Drehimpuls mit Rotationsenergie und die Zentrifugal-Scheinkraft in rotierenden Systemen.
Zwei Parallelen zum Merken: Impuls p = mv und Drehimpuls L = Iω; Kraft F = ma und Drehmoment τ = Iα. Das Trägheitsmoment I spielt dieselbe Rolle wie die Masse m, hängt aber von der Form und davon ab, wie die Masse relativ zur Drehachse verteilt ist.
Zentripetalkraft — der nach innen ziehende Zug, der die Bahn krümmt
Jeder Körper, der sich im Kreis bewegt, ändert seine Richtung; das ist Beschleunigung, und die erfordert Kraft — zum Mittelpunkt hin gerichtet. Der Betrag ist F = mv²/r = mω²r. Das Beispiel (m = 1 kg, v = 10 m/s, r = 2 m) ergibt F = 50 N und eine Zentripetalbeschleunigung von 50 m/s² (≈ 5 g), bei einer Winkelgeschwindigkeit von 5 rad/s (≈ 47,75 U/min). Die Kraft ist real — bei einem Ball an der Schnur ist es die Seilspannung, bei einem Auto in der Kurve die Reibung zwischen Reifen und Straße, bei einem Satelliten im Orbit die Gravitation. Nimmt man die Kraft weg (die Schnur reißt, die Reifen verlieren den Halt), fliegt der Körper tangential davon, nicht radial nach außen: Der Druck nach außen, den Sie bei Kurvenfahrt spüren, ist die Zentrifugal-Scheinkraft im rotierenden System, nicht die Zentripetalkraft im Inertialsystem.
Winkelgeschwindigkeit — die vier Einheiten, die hier zusammentreffen
Derselbe sich drehende Körper lässt sich in Umdrehungen pro Minute (U/min), in Radiant pro Sekunde (rad/s, die SI-Einheit), in Umdrehungen pro Sekunde (Hz) oder in Grad pro Sekunde beschreiben. Das Beispiel (1200 U/min) ergibt ω ≈ 125,66 rad/s, 7.200 Grad/s oder 20 Hz, mit einer Periodendauer von 0,05 s pro Umdrehung. Die Beziehungen: ω = 2πf = 2π n/60, wobei n die U/min sind; der Faktor 2π rechnet Umdrehungen in Radiant um, und 60 rechnet Minuten in Sekunden um. Diese Einheitenumrechnungen sind für Lehrbuchaufgaben weniger wichtig als für Motoren, bei denen die U/min die Anzeige am Drehzahlmesser sind und das Drehmoment (in N·m) die nutzbare Leistung.
Drehmoment — der Hebel, gewichtet mit dem Winkel
Das Drehmoment ist das rotatorische Gegenstück zur Kraft: τ = r·F·sinθ, wobei r die Hebelarmlänge, F die wirkende Kraft und θ der Winkel zwischen beiden ist. Das Beispiel (F = 50 N, r = 0,3 m, θ = 90°) ergibt τ = 15 N·m. Der Faktor sinθ bedeutet, dass die Kraft bei 90° (senkrecht zum Hebel) am wirksamsten ist; drückt man genau in Richtung des Hebels (θ = 0 oder 180°), entsteht kein Drehmoment, egal wie stark man drückt. Deshalb dreht ein Schraubenschlüssel eine Schraube am leichtesten, wenn man senkrecht zum Griff drückt, und ein längerer Griff gibt bei gleicher Kraft mehr Drehmoment — weshalb Schraubenschlüssel, Türknäufe und Lenkräder größer sind als die Achsen, die sie drehen.
Trägheitsmoment — die Rotationsmasse
Das Trägheitsmoment ist das Rotationsanalogon zur Masse, und es hängt davon ab, wie die Masse um die Achse verteilt ist. Für eine Vollkugel der Masse m und des Radius R gilt I = (2/5)mR²; für eine Vollscheibe oder einen Vollzylinder um die Mittelachse I = (1/2)mR²; für einen dünnen Ring oder Reifen I = mR²; für einen homogenen Stab um seine Mitte I = (1/12)mL². Das Beispiel (Vollkugel, m = 2 kg, R = 1 m) ergibt I = 0,8 kg·m². Die praktische Folge: Ein Reifen lässt sich schwerer drehen als eine Scheibe gleicher Masse und gleichen Radius (die ganze Masse sitzt am Rand), und eine Hohlkugel lässt sich schwerer drehen als eine Vollkugel. Je weiter die Masse von der Achse entfernt ist, desto größer ist I — deshalb wird eine Eiskunstläuferin schneller, wenn sie die Arme anzieht: I sinkt, ω steigt, und L = Iω bleibt konstant.
Drehimpuls — die erhaltene Größe
Der Drehimpuls ist L = Iω in kg·m²/s; die Rotationsenergie ist KE = ½Iω². Das Beispiel (I = 5 kg·m², ω = 10 rad/s) ergibt L = 50 kg·m²/s und KE = 250 J. Der Erhaltungssatz ist derselbe wie beim linearen Impuls: Ohne äußeres Drehmoment bleibt L konstant. Ein Kreisel dreht sich so lange weiter, wie die Reibung (ein äußeres Drehmoment) klein bleibt; ein frei umlaufender Planet erhält den Drehimpuls, indem er in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht (Keplers zweites Gesetz). Die kombinierte Aussage erklärt, warum sich Kreisel dem Kippen widersetzen: Die Richtung von L zu ändern erfordert ein Drehmoment, und ein schnell drehender Kreisel hat so viel L, dass kleine Drehmomente ihn kaum ablenken.
Zentrifugalkraft — die Scheinkraft im rotierenden System
Innerhalb eines rotierenden Systems spürt ein ruhender Körper eine Scheinkraft nach außen, die gleich der Zentripetalkraft ist, die nötig wäre, um ihn auf dem Kreis zu halten. Der Betrag ist F = mω²r, identisch mit der Zentripetalformel. Das Beispiel (m = 0,1 kg, ω = 100 rad/s, r = 0,15 m) ergibt F = 150 N nach außen, eine Tangentialgeschwindigkeit von 15 m/s und eine g-Kraft von etwa 152,91 g. Die Scheinkraft existiert in einem Inertialsystem (nicht rotierend) nicht; dort ist die nach innen gerichtete Kraft von Seil oder Wand die Zentripetalkraft, und es gibt überhaupt keinen Druck nach außen. Die Zentrifugalkraft lässt bei einem senkrechten Schwung das Wasser im Eimer bleiben, trocknet die Wäsche in der Waschmaschine, trennt Blutbestandteile in der Zentrifuge und drückt Passagiere bei einem rotierenden Raumstationsentwurf gegen die Außenwand. Die beiden Kräfte sind per Definition betragsmäßig gleich und entgegengesetzt gerichtet.
Häufige Missverständnisse
- Die Zentrifugalkraft ist eine reale Kraft, die Sie nach außen drückt. Sie ist eine Scheinkraft, die nur in einem rotierenden (nicht trägheitsfreien) System auftritt. Im Inertialsystem gibt es nur die nach innen gerichtete Zentripetalkraft — was Sie als „nach außen“ spüren, ist Ihre Trägheit, die dem inneren Zug widersteht.
- Der Drehimpuls hält einen Kreisel ewig in Drehung. Der Drehimpuls bleibt nur erhalten, wenn kein äußeres Drehmoment wirkt. Ein Kreisel wird langsamer, weil die Reibung an der Spitze ein äußeres Drehmoment ist; ein reibungsfreies Lager (ein Hochvakuum, ein Supraleiter) kann ein Rad tagelang drehen lassen, aber nie für immer.
- Schwerere Körper haben größere Trägheitsmomente. Schwerere Körper gleicher Form haben sie tatsächlich; aber ein Hohlreifen und eine Vollscheibe gleicher Masse können sehr unterschiedliche Trägheitsmomente haben, denn entscheidend ist die Verteilung, nicht nur die Gesamtmasse.
- Ein Körper auf einer Kreisbahn hat keine Nettokraft. Er hätte null Nettokraft, wenn er sich mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig bewegte. Eine Kreisbahn bedeutet eine konstante Beschleunigung zum Mittelpunkt hin und erfordert eine konstante nach innen gerichtete Kraft. Nimmt man diese Kraft weg, verlässt der Körper den Kreis.
Verwandte Werkzeuge: Mechanik für die lineare Dynamik darunter, Strömungsmechanik für Wirbel und rotierende Strömungen und Moderne Physik für den quantenmechanischen Drehimpuls in Atomen.
